Besprechuiigien. 
433 
Viktor Qoldschmidt ; Ueber Harmonie und Gonipli- 
cation. Mit 28 in den Text gedruckten Figuren. Berlin 1901. 
Julius Springer. (13G S., gr. 8®.) 
In der vorliegenden Schrift unternimmt es der Verfasser zu 
zeigen, dass das von ihm für die Entwicklung der Krystallformen, 
die sich in einer Zone zwischen zwei Primärflächen einschieben, 
nachgewiesene »Gesetz der Gomplication« (Zeitschr. f. Kryst. 1897, 
28, S. 13), von dem das von der Rationalität der Indices ein Theil 
ist, auch andere grosse Gebiete beherrscht, und dass es insbesondere 
die Grundlage der Harmonie der Töne und Farben ist. 
Her Verfasser giebt damit zugleich die Begründung der Be- 
zeichnungen »harmonische Zahlen«, »harmonische Reihen«, »Oktaven- 
form der Reihe«, »Dominante«, die er in seinen früheren Arbeiten 
(Zeitschr. f. Kryst. 1896, 26, 7; 1897, 28, 25) anwendet, um damit die 
Beziehungen zwischen Krystallographie und Harmonielehre anzu- 
deuten. 
Die Reilie der »harmonisciien Zahlen« 0 . ’ 3 . ^'2 . . 1 . • 2 . 
3. oc ergiebt sich z. B. bei einer Gornbination der Formen ooOcc 
(001), x03 (103), x0 2 (102), x03,a (203), xO (101) (in der Gold- 
scH.MiDT’schen Bezeichnung 0, I3O, V2O, ^go, lo) zwischen je zwei 
Würfelflächen, wenn man von der Mitte des Würfels die Normalen 
zu allen Flächen der Zone fällt und die Entfernung der Durchschnitts- 
punkte auf einer mit einer Würfelfläche zusammenfallenden Ebene 
mit dem Abstand vom Mittelpunkt des Würfels misst. Diese Reihe 
zeigt die in der Natur nur ganz selten überschrittene Grenze, bis 
zu der die Gomplication geht, und ist nur ausnahmsweise als lücken- 
lose »Normalreihe« (N3) vorhanden. Alle anderen Zahlenreihen 
lassen sich durch Anwendung einer einfachen Transformationsformel 
in die oben gewählte Form der mit o beginnenden und x schliessen- 
den Normalreihe bringen. Dies gilt z. B. auch für die musikalische 
Zahlenreihe, welche man erhält, wenn man die Schwingungszahlen 
für die Terz, Quart, Quinte, Sexte und Oktave durch die Schwing- 
ungszahl des Grundtons dividirt, also die Zahlenreihe 
Die Reihe, welche die Oktavenform (1 . . . . 2) hatte, ist 
damit in eine allerdings nicht lückenlose »harmonische Reihe« 
(o ... 1 ... x) umgewandelt, in welcher der Quinte fg gegenüber c) 
die Zahl 1 entspricht. Diese Zahl kommt bei der oben als Beispiel 
angegebenen Gornbination der Fläche des Rhombendodekaeders zu, 
welche die Würfelkanten gerade abstumpft und als wichtigste Fläche 
zu den Würfelflächen hinzutritt, wie die »Dominante« (g) zu Grundton 
(c) und Oktave (c). Die Rolle der Dominante p = 1 bei dem Ausbau 
Ceotralblatt f. Mineralogie etc. 1902. 28 
C 
2 
durch .Anwendung der Formel p = in 
in die Reilie 
p = O *;3 *'o 1 2 
