Bemerkungen zum Krystallvolumen. 
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unter sich tautozonalen Fläclien ebenso wie die letzteren ein rationales 
Doppelverhältniss der Sinus ihrer Winkel bilden. 
Somit ist obiger Ausdruck rational*. 
Hieraus ergiebt sich durch einfache Ueberlegung, dass auch 
bei Hinausfallen sämmtlicher drei Axen aus sämmtlichen ursprüng- 
K V 
lieh angenommenen Coordinatenebenen der Ausdruck y. - ratio- 
nal wird. 
Im monoklinen System erhalten wir dieselbe Endformel mit 
der speciellen Eigenschaft, dass, w'enn die Länge der in ihrer 
Richtung unveränderlichen Y-Axe constant, die Winkel der ge- 
zeichneten Flächenspuren auf (010} gleich den entsprechenden 
Flächenwinkeln der Zone Y werden, oder dass, wenn eine der 
Axen X und Z constant (und die zu dieser geneigte Goordinaten- 
ebene Zeichnungsebene ist), der für <): ß zu substitrdrende <* oder 
Y — 90° wird. 
Führt man bei hexagonalen Krystallen das übliche monokline 
Coordinatensystem in ein rhombisches über, so ist (Hauptsymmetrie- 
axe = Y) z. B. 
ß = 120°, ß' = 90, 11 = 30, u' = 60, a = c, c' = ^, m = *|j, ||-, = °!2 
oder 
ß = G0°, ß’ = 90, [A = 00, [x' = 30, a = c, c' = c VT, m = *[ 2 , = *[ 2 . 
Da man unbeschadet obiger Ergebnisse für KV resp. KV' 
einen Ellipsoidoktant und für diesen das ihm zu Grunde liegende 
Tetraeder eintühren kann, so fliesst aus dem Vorhergehenden 
folgender Satz: 
Stelltmandurch Parallel verschiebungmöglicher 
Flächen eines Krystalls Tetraeder her, diemitje einer 
Ecke im Gentrum z us amm ens t os s en und deren dem 
Gentrum gegenüberliegende Flächen (eventuell er- 
weitert) irgend eine durch dieses gehende Kante in 
einem und demselbenPunkte sch neiden, so stehendie 
Volumina der Tetraeder in rationalem Verhältnis s. 
Es möge hieran noch eine specielle Folgerung geknüpft 
* Setzt man in dem Ausdruck 
sin ß 
sin 
(X = 180 - (v + ß) 
sin [X sin [X 
und (x‘ = 180 — (v “t“ ß'), so erhält man nach einigen Umformungen 
KV 
K V 
tg ß' 
('^Ig V + 1) ■■ ( \l ! + 1) 
Eine hinreichende Bedingung, diesen Ausdruck rational zu 
machen ist u. a. die, dass das Tangentenverhältniss irgend zweier 
(und damit aller!) unserer tautozonalen Flächenwinkel rational wäre. 
Die Frage nach letzterer Rationalität ist von Neumann (1823), Kupffer 
(1831) und Nau.man.n (1855) discutirt worden. 
Centralblatt f. Mineralogie etc. 1902. 
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