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Ernst Sommerfeldt, 
aber andererseits als eine Transformation der Axenelemente des 
Complexes zu bezeichnen, indem FBC die neue Einheitsfläche und 
O F, OB, OG die neuen Axen sind. 
Offenbar ist aber das neue Elementarparallelepiped dem alten 
gleich, wir haben hier also den Fall vor uns, dass das Krystallvolum 
Schrauf’s bei einer Goordinatentransformation keine Aenderung 
erfährt. 
Es lässt sich nun beweisen, dass allediejenigen Ebenen- 
gitter, welche aus einem und demselben Punktgitter 
durch verschiedenartige Eintragung von Ebenen 
•erzeugt werden können, gleich grosse Elementar- 
parallelepipeda besitzen, und dass umgekehrt zwei Ebenen- 
gitter, welche sich durch das Volumen ihrer Elementarparallelepipeda 
unterscheiden, auch stets verschiedenen Punktgittern angehören. 
Mit dem Beweise dieses Satzes wird zugleich die Frage über 
das Krystallvolum, die wir aufwarfen, erledigt sein, denn dasselbe 
unterscheidet sich ja nur um den Faktor ^,3 . 3,14159 von jenem 
Elementarparallelepiped; es ergiebt sich also alsdann: 
Die not h wendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass bei einer Transformation der Axen- 
elemente eines Kr y Stalles zugleich das Krystall- 
volumen sich ändere, besteht darin, dass ausser, 
den Axenele menten selbst auch das zugehörige 
Punktgitter eine Aenderung erfahre. 
Der Beweis für obigen Satz kann in sehr anschaulicher Weise 
folgendermassen geführt werden: ln einem Ebenengitter ist die 
Anzahl der Gitterpunkte und Elementarparallelepipeda gleich; denn 
jedes einzelne Elementarparallelepiped hat zwar acht Gitterpunkte 
zu Eckpunkten, andererseits aber stossen in jedem Eckpunkte acht 
Elementarparallelepipeda zusammen. Da vor und nach dem Wechsel 
■der Ebenenschaaren des Gitters die Gitterpunkte die gleichen sind, 
ist auch die Anzahl der Elementarparallelepipeda des ursprünglichen 
und des neu construirten Ebenengitters gleich. Es wird also die 
gleiche Grösse — nämlich der gesammte Raum — in beiden Fällen 
in eine gleiche Anzahl von unter sich gleichen Theilen zerlegt, 
folglich sind diese Theilstücke d. h. die Elementarparallelepipeda 
in beiden Fällen gleich gross. 
Uebrigens ergiebt sich im Anschluss hieran das Resultat des 
Herrn Johnsen ohne jede Rechnung aus der einfachen Thatsache, 
dass die allgemeinste Art der Transformationen der Axenelemente, 
welche die Axenvektoren a, b, c überführen in a', b', c', in folgender 
Beziehung zu den soeben behandelten speciellen steht: 
Man trage in das Punktgitter derart drei Parallelschaaren von 
Ebenen ein, dass je drei in einem Punkt zusammenstossende Kanten 
des Ebenengitters die Richtungen des Axenvektorenkreuzes a,' b,' e' 
haben, alsdann muss jede Kante des Elementarparallelepipeds zu 
dem ihr gleichgerichteten Axenvektor im Verhältniss einer rationalen 
