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A. Johnsen, 
Identifizieren wir einmal die 3 Hauptanziehungsricli- 
tungen a, b, c mit 3 nicht in einer Ebene liegenden 
Flächen normalen, so gelangen wir wiederum zur Aiif Stellung 
von 23 Fällen, die den obigen dualistisch gegenüberstehen und 
offenbar ebenfalls durch obige Tabelle formal dargestellt werden, 
nur daß jetzt umgekehrt No. 1 die Zwillinge 2. Art 
repräsentiert und No. 2 diejenigen 1. Art, w'ährend No. 4 
bisher nicht bekannt ist; wie im vorigen Fall gehören wieder die 
Kieselzinkerzzwillinge zu No. 8, die Schwefelkieszwillinge nach (101} 
zu No. 9 und die Eohrzuckerzwillinge zu No. 14, wdlhrend die 
übrigen Fälle wieder bisher nicht realisiert sind. Besonders zu 
betonen ist die Umkehrung der relativen Wahrscheinlich- 
keit der Zwillinge 1. und 2. Art; in den ersteren haben die 
beiden Individuen von den 3 Kanten 2, von den 3 Flächennormalen 
aber nur 1 gemeinsam , in den letzteren umgekehrt von den 
3 Kanten 1, von den 3 Flächennormalen 2. Danach müßten wir 
gleiche Häufigkeit der ZwTllinge 1. und 2. Art erwarten, 
während Tscheumak die ersteren für bevorzugt hielt. Die folgende 
Statistik wird in der Tat die Richtigkeit des obigen Ergebnisses 
beweisen. 
Die meisten Zwillinge besitzen eine zur Zwillings- 
achse normale geradzählige Deckbewegungsachse und 
lassen sich infolgedessen, wie leicht nachgewiesen 
werden kann, ebenso als Zwillinge 1. Art wie als 
Zwillinge 2. Art auffassen. Sie werden nur deswegen ge- 
wöhnlich als solche 1. Art, d. h. mittels der rationalen Zwillings- 
ebene definiert, weil erstens jene Zwillingsebene in der Regel als 
Verwachsungsfläche fungiert und weil zweitens die Flächen- 
bezeichnungen (nach WEISS, Miller oder Naumann) einfacher, an- 
schaulicher und geläufiger sind als die Kantenbezeichnungen. 
Von den übrigen Zwillingen kommen für unsere Statistik nur 
noch die rhombischen, monoklinen und triklinen Zwillinge 
nach rationalen Zwillingsebenen bezw. Z w'illingsachsen 
von allgemeinster Lage in Betracht, die in Tabelle B ver- 
zeichnet sind. 
Man ersieht aus nebenstehender Tabelle B, deren 2. Absatz 
die im folgenden ermittelten Fälle von Zwillingsbildung enthält, daß 
in der Tat Zwillinge 1. und 2. Art sehr annähernd gleich 
häufig sind; dazu kommt noch, daß Zwillinge 2. Art schwerer 
erkannt werden als solche 1 . Art , da ihre irrationale Zwillings- 
ebene nicht als Verwachsungsfläche fungiert und somit die Ver- 
keine jener Richtungen mit ihr oder einer der beiden andern zur Deckung 
bringen , also zur Annahme neuer Anziehungsrichtungen nötigen. Auch 
würde die Lage der Hauptanziehungsrichtungen vielfach der Symmetrie 
des Kristalls widersprechen. 
