( 109 ) 
Daar nu het pulynomium gevondeu is dat aan (13) vol- 
doet, kau men ook de integraal van x m {a b x”)p d x vin- 
den, indien de voorwaarde m -{- 1 = (r -(- 1) « vervuld is. 
Deze integraal is toch volgens (11) 
of 
-(- b ;r”) 1 -h/’ (.«.•* -f- x : ~ 1 -f . . Ai) 
— (a -f b x n ) 1 +P (x rn 4- A n + . . A ni ). 
(r/ + rn)b 
Het onderzoek van (13) leidt dus tot dit besluit : 
Wanneer in x m (a -j- b x n )P d x de exponenten m n en p vol- 
doen aan de voorwaarde 
^±_ = l + r(r = 0, 1, 2..), (16) 
n 
dan is de integraal dezer dijferentiaal algebraisch en ge- 
lijk aan : 
1 
«(1 P T ) b 
(« + bx n ) x +P \x r ” 
p -f- r b 
1 2 
(I 
- . x' 
r— lj« -j_ 
r a r \ 
+ — — ■ x( r ~ 2 ) n - .+(-l) r . 
p-\-r - 1 p-\-r b 2 /y-J-1 p -\- 2 p-\-r b r 
.(17) 
Ter opheldering van het voorgaande : het voorbeeld 
j 8 (a -|- b x^)P il x nemende, vindt men dat de integraal de- 
zer differentiaal zuiver algebraisch is, omdat de voorwaarde 
(16) voldaan is. De waarde van r hier 2 zijnde, is voorts 
de integraal, volgens (17): 
1 
3 (/? - 4 - 3) b 
(// -f b # 3 ) 1 +P | a. 6 — 
2 
V + 2 
n 1 2 a 2 1 
b p -j- 1 p \ 2 b 2 j 
Yerder volgt nog uit het voorgaande dit: 
Wanneer de exponenten aan geene der voorwaarden (14) en 
(16) voldoen, is I x m (u -|- b x")P d x niet zuiver algebraisch. 
