§ 4. Uit de onderzoekingen van Tchebichef ( Journal de 
Liouville, Annee 1853) is bekend, dat de eenige gevallen 
waarin x m (a 4 b x n )P d x eene integraal bezit, die door alge- 
braische en logaritlnnische functien kan worden uitgedrukt 
zijn die, waarin aan de volgende twee voorwaarden voldaan is : 
1 4- rn 
4 - P — geheel 
1 4 " m 
— geheel. 
Zondert men hiervan af de gevallen waarin de integraal 
zuiver algebraisch is, nl. : 
14 ® 
4 -p — — 1» — 2,— 3, 
14 *® 
= 1, 2, 3, 
dan houdt inen voor de gevallen waarin de integraal zui- 
ver logarithmisch of gemengd algebraisch en logarithmisch 
is over: 
1 -I- m 
+ p = 0, l; 2, (18) 
n 
1 4“ m 
— — = 0, -1,-2, (19) 
u 
Onderzoek van de gevallen waarin aan de voorwaarde (18) 
voldaan en de integraal zuiver logarithmisch is. 
Wanneer 1 4 m -j- n p — i n (i = 1, 2, 3 . .), kau de in- 
tegraal door herhaalde toepassing der formule: 
j x in— n p~ \ Rl> d X — 
x {i-p—\) n //(/' •» — 1) f 
— : RP+ 1— — / «(*-• )n-np-l Rv du-, . . (20) 
bin bi J 
waarin kortheidshalve a 4- b x 11 door R is vervangen, herleid 
worden tot algebraische functien en j x~ n P~ l RP dx. Daar 
nu in deze laatste integraal 1 4" m 4 n V — 0 is, zoo is het 
