( 241 ) • 
/CO , f{* 1) , /(^a) , , /(*») 
9>'CO + «/(/l) + * 9'(**) 
1 
l72.3..w 
/•(*>■. (2) 
waarin : 
qp (z) = (z— .r) («— aq) (z aq) . . ( 2 — x„). 
Men herkent hierin een uitbreiding van de voor n = 1 
f (x) — f (x i) 
ontstaande elementaire formule •=/(£), 
x — aq 
2. Het bewijs van de formule (1) berust nu op de vol- 
gende hulpstelling : 
» Waimeer de functie G (z) voor de n -f 1 verschallende 
waarden z — x, z = x 1 . . z — x, t de waarde nul aanneemt, 
dan neemt het n Je differentiaal-quotient G n ( 2 ) de waarde 
nul aan voor een waarde z = £ gelegen tusschen het grootste 
en kleinste der getallen .r, aq . . x„.” 
Ondersteld wordt hierbij dat G (z), G\z) . . G n ~ l (z eindig 
en continue zijn voor alle waarden van z gelegen tusschen 
x, aq . . x n , en dat voor dezelfde waarden van z, G ,l ~ ] (z) een 
eindig en bepaald differentiaal quotient G" (z) heeft. 
Voor n = 1 is dit een bekend theorema, waaromtrent het 
voldoende is te verwijzen naar Dini, Fondamenti per lu teorica 
delle funzioni di variabili reali, pag. 70. 
Het bewijs van dit theorema, evenals dat van eenige nauw 
venvante, zooals het in de nog meest gangbare leerboeken 
voorkomt, bijv. Serret, Cours de calcul differential , bevat een 
leemte die eerst aangevuld werd door eenige onderzoekino-en 
van Weierstrass, men zie Dini, pag. 43, 51. Weierstrass 
zelf schijnt van dezc onderzoekingen omtrent de grondslagen 
der functieleer, niets gepubliceerd te hebben. 
Het is vooral noodig op te merken dat in dit eenvoudigste 
geval n = 1 de grootheid £ tusschen x en aq ligt, en ver- 
schillend zoowel van x als van aq aangenomen mag worden. 
Het bewijs van de hulpstelling in het algemeene geval 
\EBSL. tu UEDED. Ai'D. NATUUBK. 2<le BEEKS. DEEL XVII. 
10 
