( 244 ) 
/ (»} ” F ( .x) + 
(x Xff (x J? 2 ) . . (x X n ) 
1.2.3..« 
/*(« 
waarmede het bewijs van de formule (1) geleverd is. 
4. Wanneer men, in de nu ook bewezen formule (2), de 
steeds ongelijke gefallen x, x x , x z . . x n allen tot eenzelfde 
limiet X laat convergeeren, dan volgt : 
Lim. 1^+^ 
l(f(x) qp'^x) 
1 _ 
1 . 2 ..« 
/* (*) • • ( 7 ) 
Behalve de onderstellingen die voor de geldigbeid der for- 
mulen (1) en (2) gemaakt moeten worden, moet bij deze 
laatste formule bovendien nog J n (x) voor x = X continue 
zyn, daar men anders niet kan besluiten dat f n (|) bij con- 
vergentie van § tot X , tot de limiet /” (X) convergeert. 
Deze formule (7) die dus in bet geval dat /" (x) voor 
,r — X continue is, een directe algemeene definitie van bet 
« dli differentiaal-quotient van een functie / (x geeft, scbijnt 
nog niet in de hier gegeven algemeenheid bewezen te zijn 
Wel komt zij voor in het uitstekende werk van Lipschitsch 
> Differential- und Integralrechnung ”, pag. 204 Form. 20, 
maar bij bet daar voorkomende bewijs moet men onderstel- 
len dat x x x x 2 . . x„ bij hunne convergentie tot de limiet X, 
behalve dat zij steeds ongelijk blijven. nog aan andere con- 
dities moeten voldoen, die hier overbodig blijken. Zie t. a. 
p. pag. 203 regel 6 v. o . En verder is daar bet bestaan 
van een eindig en continue « -j- l ste diöerentiaal-quotient 
aangenomen. Ook deze conditie ligt stellig in bet gebeel 
niet in den aard der zaak, en nadat Weierstiiass continue 
functies heeft leeren kennen die niet differentieerbaar zijn, 
zou niets gemakkelijk zijn dan functien op te stellen, voor 
welke de formule (7) geldig is, maar waarbij van geen « -f l ste 
differentiaal-quotient sprake kan zijn. *) 
*) Men zie het Journ. für Mothem. Bd. 79, pag. 29 en vv., ook Bd 
90 pag. 221. 
