( 339 ) 
opmerkelijk. dat Euler steeds te vergeefs getracht heeft, de 
theorerua’s omtrent liet karakter van 2 te bewijzen (Yergel. 
Disq. Arithm. Art. 120). 
Een geheel analoog verscliijnsel doet zieh voor in de theo- 
rie der vierde-machtsresten. Ook hier heeft de algemeene 
recipi'ociteits-wet hetrekking op twee oneven, d. w. z. niet 
door 1 -f- * deelbare, priemgetallen en het karakter van dit 
bijzondere priemgetal 1 -(- i moet afzonderlijk bepaald wotden. 
In de verhandeling van Gauss : Theoria residuorum bi- 
quadraticorum commentatio secunda, waarin voor het eerst 
de geheele complexe getallen van den vorm a -f- bi in de 
getallen-theorie ingevoerd werden, is het biquadratisch ka- 
rakter van 1 -f- i volledig bepaald. Het daar voorkomende 
bewijs is zuiver arithmetisch gevoerd en steunt wezenlijk op 
het theorema van Art. 71, dat geheel overeenkomt met de 
hulpstelling die de grondslag uitmaakt, zoowel van het derde 
als van het vijfde Gaussische bewijs van de reciprociteits- 
wet in de theorie der quadi’aat-resten. (Theorematis arith- 
metici demonstratio nova, Werke n pag. 1 en Theorema- 
tis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demon- 
strationes et ampliationes novae, Werke H pag. 47). 
Zooais bekend is, heeft Gauss zijn voornemen, in eene 
derde verhandeling de theorie der vierde-machtsresten tot 
een zeker einde te brengen door het bewijs te leveren van 
de algemeene reciprociteits-wet, die reeds in de tweede ver- 
handeling over deze theorie uitgesproken is, niet ten uitvoer 
gebracht. 
De eerste gepubliceerde bewijzen van dit fundamenteele 
theorema zijn de beide van Eisenstein in het 28 stc deel van 
Crelle’s Journal für Mathematik pag. 53 en 223. In het 
eerste stuk : »Lois de reciprocite” wordt het karakter van 1 -f ■ i 
niet behandeld, wel in het tweede stuk: Einfacher Beweis 
und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die 
biquadratischen Reste. Bij de daar voorkomende afleiding 
van het karakter van 1 -j- i wordt echter gebruik gemaakt 
van de vooraf bewezen algemeene reciprociteits-wet, wat ruij 
in elk geval minder schoon voorkomt, daar de overgang van 
het meer eenvoudige tot het samengestelde toch stellig ver- 
