( 340 ) 
langt het karakter 1 + i geheel onafliankelijk van het fun- 
damentaal-theorema af te leiden. 
Hetzelfde geldt in meerdere of mindere mate van alle an- 
dere metlioden, die later bekend gemaakt zijn om de theorie 
der vierde-machtsresten te behandelen, en voorzoover ik zie, 
kan alleen van de Gaussische afleiding van liet karakter 
van 1 -f i gezegd worden, dat zij zuiver aritbmetiscb is, 
en geheel onafliankelijk van de algemeene wet van reciproci- 
teit, zoodat zij liierdoor voldeed aan de eiscken die men aan 
een geleidelijke ontwikkeling van de gelieele theorie der 
vierde-machtsresten zal rnoeten stellen. 
Geheel analoge bemerkingen zijn te maken omtrent de 
theorie der derde-machtsresten. Het eerste gepubliceerde 
bewijs van de door Jacobi uitgesproken wet van reciproci- 
teit in deze theorie, is dat van Eisenstein in Bd. 27 van 
Crelle’s Journal für Mathematik pag. 289. Het afzonderlijk 
te bepalen karakter van 1 — q (waarin q een complese 
derde-machtswortel der eenheid) is eerst later gegeven door 
Eisenstein in Bd. 28 pag. 28 en vv. van hetzelfde tijdschrift. 
Bij deze afleiding wordt weder gehruik gemaakt van de alge- 
meene wet van reciprociteit, en ik zie niet dat tot dus ver 
eene afleiding van het cubisch karakter van 1 — g gegeven 
is waarvan dit niet gezegd kan worden. 
Daar het nu toch wenschelijk voorkomt, eene afleiding 
te bezitten voor het karakter van 1 -j- i en 1 — g, geheel 
afgesclieiden van de algemeene reciprociteits-wetten, zoo is 
het misschien niet geheel van belang ontbloot, dat al deze 
theorema’s, betrekking hebbende op de priemgetallen 2, 
1 + 1 ~ 9 en die tot aanvulling der reciprociteits-wetten 
noodzakelijk zijn, volgens eene gelijk blijvende methode be- 
wezen kunnen worden. 
Het principe van deze methode bestaat daarin, het prieru- 
getal waarvan het karakter te bepalen is, te vervangen door 
een congruent product van factoren. Het karakter dezer 
factoren wordt dan bepaald door beschouwingen, geheel over- 
eenkomstig aan die van Gauss in Art. 15 — 20 van zijne 
eerste verhandeling over de theorie der vierde-machts-resten 
1 Werke II pag. 78 — 87). Gauss beschouwt in deze verhau- 
