( 341 ) 
deling alleeu reele getallen, en het doel der verhandeling 
is de bepaling vau het karakter van 2 in deze reele theo- 
rie. Het bleek mij echter dat al de beschouwingen van Gauss 
bijna onveranderd ook in de tlieorie der complexe getallen 
herhaald kunnen worden, en de bepaling van het biquadra- 
tisch karakter van 1 i volgt dan onmiddellijk met behulp 
van eene eenvoudige beschouwing volgens welke 1 -f- * con- 
gruent is met een product, waarvan men het karakter der 
factoren kent. 
Met behulp van deze hoogst eenvoudige bemerkingen is 
dan ook, eenmaal de onderzoekingen der eerste verhandeling 
van Gauss gegeven zijnde, de bepaling van het karakter van 
1 -{- i ten opzichte van een priemgetal van den vorm a + bi 
(waarin b niet gelijk nul) om zoo te zeggen mede geheel 
volbracht; terwijl een geheel analoge methode in het geval 
dat de modulus een reeel priemgetal van den vorm 4 n -(- 3 
tot hetzelfde doel gebezigd kan worden. Hoewel dit laatste 
geval een veel eenvoudiger behandeling toelaat (zie bijv. G. H 
Art. 68), heb ik toch gemeend het ook op dezelfde wijze 
als de overige gevallen te moeten behandelen, omdat zoo- 
doende blijkt dat de gebezigde methode in Staat is om de 
volledige theorema’s af te leiden. 
Nadat de bepaling van het biquadratisch karakter van 
1 -f- i afgehandeld is, heb ik met behulp van de vooraf- 
gaande ontwikkelingen alle theorema’s bewezen die Gauss 
door inductie gevonden, en in Art. 28 der Theoria residuorum 
biquadraticorum commentatio secunda, opgesteld heeft. Voor 
zoover mij bekend zijn deze theorema’s hier voor het eerst 
bewezen *). Dit bewijs steunt geheel op de theorie der com- 
plexe getallen, welke theorie hier dus geheel als hulpmid- 
del dient, daar de theorema’s zelf alleen betrekking hebben 
op reele getallen. Behalve de reprociteits-wet in de theorie 
der vierde-machtsresten, waren voor het volledig bewijs nog 
de beschouwingen van Art. 19, 20 noodzakelijk. 
. *) ln het 4<le deel van het Journal de Liouville heeft Lebesqüe deze 
theorema’s voor een deel bewezen. Zie daar pag. 51, 52. Remarque 1°, 
