INTRODUCTION. 
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Théorème Vil. — Pour que A soit symétrique, il faut et 
il suffit quelle admette un couple symétrique (L,L/) de 
deux unitaires associées. 
Théorème VIII. — Pour que A soit à la fois réelle et 
symétrique , il faut et il suffit que A possède : i° une forme 
canonique réelle , 2 0 une canonisante réelle et orthogonale. 
Cette dernière proposition n’est pas nouvelle, mais le pro- 
cédé de démonstration fondé sur l'emploi de la formule (1) 
conduit à diverses applications. Par exemple on construit 
toutes les matrices A telles que AA = e n . 
Théorème IX. — Pour qu'une matrice A, inverlible ou 
non , soit échangeable à A', il faut et il suffit que A pos- 
sède une canonisante unitaire. 
On examine ce que cette proposition devient dans le cas 
réel. On construit les matrices A, orthogonales ou lorent- 
ziennes, échangeables à A'. 
M. Probenius a démontré que si deux orthogonales A 
cl II sont semblables , il existe une troisième orthogonale C, 
telle que II = C~'AC. 
Généralisant ce . résultat, j’établis une proposition ana- 
logue. 
Théorème X. — Soient deux matrices A et 11 {toutes deux 
unitaires ou toutes deux hypohrrmiliennes ) semblables . // 
existe toujours une unitaire C, telle que B = C _, AC. 
Un résumé des présentes recherches a été inséré aux 
Comptes rendus { 17 mars ipi 3 ). 
