GÉNÉRALITÉS SUR LES 1IYP0HERMI TIENNES ET LES UNITAIRES. l3 
qu’une matrice A possède éventuellement, deux quelconques 
entraînent la troisième. 
En effet, si : 
e n — AA' = AA', il vient A = A ; 
e n — AA', A — A, il vient AA' = e n \ 
e n = A A', A = A, il vien t A A' = e„ . 
3° Prenons une matrice A telle que A' = A, a hj — a jk , et 
considérons l’expression 
X = 2^ a jk jCjX k — A ( x, x). 
On a 
X = / V a jk XjX k \ =A a jk x j x k =^ j a kj x k Xj = X. 
\ /* / jk jk 
X est réelle pour tout choix des variables x. Si, de [tins, 
pour aucun choix des a;, \ n’est négative, on dit que A est 
hypohermilienne. Une hypoliermitienne invertible devient 
hermitienne . 
Soient : A une hypoliermitienne; B une matrice quel- 
conque. A (y’, y) est réelle et non négative pour tout choix 
des variables y, en particulier, si l’on pose y = B [./;] pour 
tout choix des variables x. Or 
A(.r,y) = A(B[j?J, B[.r]) = B'AB(x, x). 
Comme 
(B' AB / = B'Â'B = B' AB, 
on voit que si A est hypoliermitienne , B'AB est aussi hypo- 
liennitienne. 
La matrice E — e n est hermitienne, donc la matrice A' A 
est hypoliermitienne quelle que soit la matrice A. 
4° Voici ce que deviennent les résultats précédents, lors- 
qu on s astreint à rester dans le réel. 
