ÉTABLISSEMENT DE LA FORMULE A = LFM. 
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Mais U,-y = o pour y>a; par suite a j( — o pour j > a. La 
matrice A a ses n — a dernières lignes composées de zéros. 
Le rang r de A ne dépasse pas a. Donc a. Comme déjà a<r, 
on a a = r. c. q. f. d. 
16° Lemme. — Les deux hypohcrmitiennes U = A A' 
et V = A'A .son/ semblables. 
Dans ma Note Swr une propriété des matrices linéaires 
{Nouvelles Annales de Mathématiques , 1912 ), j’ai démontré 
la proposition que voici : 
Soient B et C deux matrices n aires, U = BC, V = CB 
leurs produits. Pour que U et A soient semblables, il faut et 
il suffit que les matrices U"' et V"' aient même rang, pour 
m = 1 , 2 , ...,gj, l’entier ex étant suffisamment élevé. 
Dans le cas actuel, les deux matrices L^ et V ont même 
rang /*. U et Y sont hypohcrmitiennes èt canonisables; pour 
tout entier positif m, U m et V m ont le même rang r. U et V 
sont donc semblables. c. q. f. d. 
17° U et Y étant semblables ont même forme canonique, 
que l’on peut écrire 
r n — r 
où f est l’hermitienne étudiée au Chapitre précédent. En 
effet, toute hermitienne est le carré d’une autre hermitienne. 
Soient B et S deux unitaires, canonisantes respectivement 
pour U et V. Il viendra 
A 0 = R'UR = R'AÂ'R == S'VS =K'A' AS. 
Posons, L et M étant deux unitaires, A = LBM. 11 viendra 
U = LBB'L/, V = M'B'BM 
A 0 = R' LBB'L? R = S 7 M'B'BMS. 
et ensuite 
