APPLICATIONS DIVERSES. 
6.) 
(3°) T = Y T„ T < 7 = zz^-aire unitaire (ou réelle et orthogo- 
<7 
nale dans le cas réel) quelconque. 
Si T est unitaire, l’unitaire T* admet une canonisante uni- 
taire zz^-aire R<j. La zz-aire 
<7 
est : i° échangeable à F, 2 ° canonisante pour T. 
Si l’on est dans le cas réel, est réelle et orthogonale et 
admet une semi-canonisanle (25°) R,-, réelle et orthogonale 
zi^-aire. Alors T admet une semi-canonisante R == V R,., 
G 
zz-aire et orthogonale, échangeable à F. Si T est symétrique, 
la semi-canonisante devient une canonisante. 
91° Si T = V T, est une unitaire symétrique, il existe 
<7 
(lemme du 39°), à côté de chaque zz„-aire unitaire symé- 
trique T^, une zz^-aire unitaire et symétrique telle que 
z 1 rj =T^. Alors l’unitaire zz-aire symétrique z — V a | a 
G 
double propriété d’être échangeable à F et d’avoir son carré 
identique à T, T — z 2 . 
Fout cela rappelé, passons aux propositions que nous 
avons en vue d’établir. 
92° Théorème. — Pour que. la matrice A = PFQ soit 
symétrique , il faut et il suffit qu’il existe un couple symé- 
trique (L, L' ) de matrices associées. 
La condition est évidemment suffisante. Montrons qu’elle 
est nécessaire. On a 
A = PFQ = A'= Q'FP', 
d t « v v 
ou 
F = P-iq'FP'Q->, 
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A nn. cle Lyon. 
