66 
c’est-à-dii e 
CHAPITRE VII. 
P-‘Q' = T et P'Q-* = T-> (11°). 
Q = TP', Q'— PT, Q = (PT)'= T' P'. 
Donc T = T' = symétrique. 
t étant la matrice ainsi désignée au 91°, considérons le 
couple (Pt, t -1 Q). Alors la matrice T = P 1 Q' devient 
( Pt ) -1 (t -1 Q)' = t _1 P -1 Q't -1 = = e n , 
puisque T = x 2 (91°). Bref il existe un couple (L, M), 
L = Px, M = t - 1 Q, où L~* M' = e rn M = L'. 
C. Q. F. 1). 
93° Théorème. — Pour que la matrice A = PFQ soit 
réelle , il faut et il suffit qu’il existe un groupe réel (L, M) 
de matrices associées. 
La condition est évidemment suffisante ; montrons qu elle 
est nécessaire. 
Soit 
A = PFQ = Â = PFQ ; 
d’où 
F = P-4PFQQ-* et (11°) P 'P = T, QQ-‘ = T-«. 
Puis P = PT, Q = T -1 Q. Par unitarité, 
T' = (p-‘ P) = P' P'- 1 — P- 1 P'- 1 = P _1 P = T. 
T est symétrique, t étant la matrice du 91°, considérons le 
couple (U, Y), où U = Pt, V == t - 1 Q. On a, puisque t 2 = T, 
U- 1 Ü = T- 1 P- 1 Pr-' = T- 1 TT- , = e„, 
V V -1 = tQQ^'t = tT“'t = e n , 
Ü=U, V = V. 
Le couple (U, V) est réel. c. Q. f. i>. 
94° Théorème. — Pour que la matrice A soit, à la fois. 
