APPLICATIONS DIVERSES. 
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réelle et symétrique , il faut et il suffit que A possède : 
i° une forme canonique réelle ; 2 0 une canonisante réelle 
et orthogonale. 
Les conditions sont évidemment suffisantes ; montrons 
qu’elles sont nécessaires. 
Dans la démonstration, il est licite et indifférent de trans- 
former A par une réelle orthogonale quelconque. 
Nommons F la base de A. En vertu de 93°, A possède un 
couple (U, V), où U et V sont deux orthogonales réelles. 
A = UFV. En vertu de 92°, A possède un couple (UT -1 , TV) 
symétrique, 
(TV)'= UT-‘ = V-'T', VU = T'T. 
La matrice T'T est symétrique et échangeable à F ; en vertu 
de la relation 
( 1 ) T'T = VU, 
elle est réelle et orthogonale. Elle admet donc une canoni- 
sante réelle et orthogonale R et une forme canonique 
* = 1*7 Sj x ) l> g ] = 1 > 
avec 0 = R T' TR. 
Transformons, ce qui est licite, A par la réelle et ortho- 
gonale R. R est échangeable à F, parce que (90°) 
F=^F ff E ff , T=2 T - T'TgtgT^Ttf, 
<7 <T fj 
R,*, R^zz n^-aire réelle et orthogonale. 
rs 
On aura donc 
R - 1 AR = R-‘ UF VR = R- 1 U R . R- : 1 FR . R~> VR = ( R 1 U R) F ( R-» V R ) . 
Cela revient à remplacer U et V par R~‘UR et R'VR; 
VU = T'T se remplace par R _, T'TR = 0. 
