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CHAPITRE Vil. 
Tout cela revient à faire 
Vlî = <6, V = «U-‘, A = UF6U -1 . 
A admet la canonisante réelle et orthogonale U et la cano- 
nique réelle F© — ©F. c. q. f. d. 
95° Soit A = PFQ une matrice réelle et symétrique qui 
admet pour hase (89°) l’hermitienne canonique F et un 
couple (P, Q) d’unitaires associées. Quelles sujétions, néces- 
saires et suffisantes, cela entraîne-t-il pour P et Q? 
Toute canonique réelle peut se mettre sous la forme 
*I>© = ©il>, où <I> est une hermitienne canonique et (!3 la 
matrice ainsi désignée au 94°. 
Le théorème du 94° permet immédiatement d’écrire 
A = Ud>©U où U est une canonisante réelle et orthogo- 
nale. Alors 
AA' — A 2 = U (<I>® ) 2 U -1 = U<F 5 <6 2 TJ 1 U *1> 2 U~ ’. 
Donc, en vertu de théories précédentes, <I> est la hase de A, 
<I> — F. Puis 
A = PFQ = UF<&U-', F = P-'UFHrU-'Q- 1 , 
P-‘U = T, «IJ— 1 Q- 1 = T—*, 
P = UT” 1 , Q = TéU->, 
T = unitaire échangeable à F. 
96° Dans le cas particulier où A, réelle et symétrique, 
est aussi hermitienne, il en est de même pour sa forme 
canonique F©. Cela exige 
<6 = e n , A — UFU = semblable à F. 
Cette éventualité se présente notamment si A = F '. La 
similitude de F et F - ' entraîne les mêmes conséquences 
qu’au Chapitre IV (34°). Parmi les n = n 0 H- 2 v racines 
caractéristiques de F, n 0 sont égales à 1 ; les autres se dis- 
posent en v couples de deux racines inverses l’une de l’autre. 
