CHAPITRE Yill. 
MATRICES A ÉCHANGEABLES À A'. 
99° Théorème. — Pour- que les deux matrices A et A' 
soient échangeables , il faut et il suffit que A possède au 
moins une canonisante unitaire. 
I. La condition est nécessaire. — Ecrivons, ce qui est 
toujours licite, A = LP"M, où F est l’hypohermitienne base 
et (L, M) un couple d’unitaires associées. Il viendra 
AS"'= LF 2 L-‘= M-‘F 2 M 11 A'A, 
MLF 2 = F 2 ML; 
ML est échangeable à F 2 , c’est-à-dire (5°) à F. On écrira 
ML = T. L’u nitaire T, échangeable à 1", possède (90°) une 
canonisante f unitaire et échangeable à F. 
Les deux matrices A et A' restent échangeables après 
transformation par l’unitaire #. Tout subsiste dans l’analyse 
précédente, sauf que T se transforme par § et devient l’uni- 
taire canonique T 0 , 
Alors 
T 0 — | Xj Xj e' a / 1 (a y = arc réel). 
ML = T 01 M = T 0 L-‘, A = LFT 0 L _I . 
A possède la canonisante unitaire L et a FT 0 pour forme 
canonique. c. q. f. d. 
II. La condition est suffisante. — Toute canonique 
(F y = réel et non négatif) 
I xj xjFj e ia i |. 
