540 
Ernst Sommerfeldt. 
Um nun Näherungswerthe für den Vektor 8 zu gewinnen, 
• , . . m n 
entwickeln wir p und — in Kettenbrüche und zwar derart, dass 
der 1 te, 2 te, 3 te, . . . i te ... Näherungswerth von ™ bezüglich 
gleichen Nenner erhält mit dem 1 ten, 2ten, 3ten, . . . iten . . . 
n 
Näherungswerth von — . Indem wir jeden iten Näherungsbruch 
mi m m n 
~ von — und — - von — zusammenfassen und in Zähler und 
P* P Pi P 
Nenner zerspalten, gewinnen wir »Näherungstripel« mi, m, pi ; 
und zwar ergeben sich diese Zahlen bei dem sogleich näher zu be- 
schreibenden Verfahren nothwendigerweise als relativ prim. Die 
Grössen «mi, m, pi fassen wir nun als Indices einer Näherungszone 
von 8 auf und bilden die vektorielle * 1 Summe im a +m b-f-pi c = 8i. 
Je grösser i angenommen, d. h. je später die Kettenbrüche abge- 
brochen werden, um so mehr convergirt sowohl die Richtung 
von 8i als auch die Grösse dieses Vektors nach dem Werth 8 ; 
letzterer wird exakt erreicht bei dem grössten Werth von i, d. h. 
bei dem demjenigen i mit welchem der Kettenbruch von selbst 
abbricht. Die folgenden Betrachtungen gelten ohne weiteres auch 
für den Fall, dass m, n, p in irrationalem Verhältniss zu einander 
stehen, dann brechen natürlich die zugehörigen Kettenbrüche über- 
haupt nicht von selbst ab, sondern es existiren unendlich viele 
Näherungstripel und Näherungszonen. Da dieser Fall indessen 
nicht für die bei der Bildung von Krystallindividuen auftretenden 
Kanten, sondern nur für physikalisch ausgezeichnete Richtungen 
(z. B. optische Axen u. a.) in Betracht kommt, soll derselbe 
hier nicht weiter erwähnt werden. Im Folgenden mögen m, n, 
p sämtlich als positiv und m n p angenommen 
werden; diese Bedingungen beeinträchtigen die Allgemeinheit 
nicht, da aus dem Folgenden hervorgehen wird, dass in den diesen 
Bedingungen sich nicht fügenden Bereichen die Ketten bruchent- 
wickelungen nur durch Vorzeichenänderung oder Permutation der 
mi, m, pi sich unterscheiden können von den hier direkt be- 
handelten. 
Um die Kettenbruchentwickelung von der verlangten Form zu 
erhalten, setzen wir nacheinander folgende Gleichungspaare an : 
Theiler gemeinsam haben ; z. B. ist 15, 6, 2 ein Zahlentripel, das als 
relativ prim zu bezeichnen wäre. 
1 Vektoren sind in dieser Abhandlung durch deutsche Buch- 
staben ; vektorielle Summationen, die also gemäss der Parallelogramm- 
construktion für die Resultierende mehrerer Kräfte erfolgen , durch 
das einfache Summenzeichen charakterisirt. (Fig. 2 wird diese 
Schreibweise verdeutlichen.) 
