Kettenbruchähnliche Entwickelungen. 
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1. Paar. 2. Paar. 3. Paar. 
ui .. i Xi — X- — ‘X.3 e w 
cp — — — a<, -+- — , ^ — a! -f- — , © 2 — a 2 -f- u. s. w. 
P Ti <?2 Ts 
X = w = b 0 -fr- j-, Xi = -(- -f , X2 = ^2 + 4; u. s. w. 
p Tl T2 T3 
und zwar bedeuten hier ao, a t , a 2 . . . . die nächst kleineren ganzen 
Zahlen im Vergleich zu den Brüchen <p, <pi, 92, . • . . ; analog b 0 , bi, 
b 2 , . . . . die nächst kleineren ganzen Zahlen im Vergleich zu den 
Brüchen x, Xi> X2> In der Zahlenreihe der <pi und ebenso der 
Xi sind vor der Aufstellung obiger Gleichungspaare zwar nur die 
Anfangsglieder <? und x bekannt, es liefert aber allgemein das i— ite 
Gleichungspaar sowohl <pi (als den — nicht nothwendig ganzzahligen 
Nenner des bei der Absonderung von bi-i bleibenden Restes, falls 
dem Zähler der Wert 1 verliehen wird) als auch x» (als den nicht 
nothwendig ganzzahligen Zähler des bei der Absonderung von ai-i 
bleibenden Restes, falls dem Nenner der Wert ?i verliehen wird). 
Kettenbruchähnliche Terme ergeben sich aus diesen Gleich- 
ungen sofort, wenn die Grössen <?i und x> (i 0) successive eli- 
minirt werden, alsdann folgt nämlich: 
(p = ao + b! + j_ 
a 2 -fr - b3 -)- . . . 
as -fr • • • 
ai + b 2 + j_ 
a» -fr- • • • 
a 2 -fr - b 2 -fr- . . . 
a 8 + ... 
X = bo + j_ 
a i + t>2 + j_ 
as -fr- • • • 
a 2 - fr t>3 -fr- . . . 
a 3 + • • • 
Die Grössen ai, bi bezeichnen wir in Analogie mit gewöhn- 
lichen Kettenbrüchen als »Theilnenner«. Man erhält Näherungswerthe 
<Pi und Xi für <p resp. x, wenn man alle diejenigen Grössen ak und 
bk vernachlässigt, deren Index k grösser als i ist, d. h. wenn man 
in obigen Formeln alles das, was hinter derjenigen Vertkalen steht, 
welche die Grössen ai und bi verbindet, vernachlässigt; werden 
die Kettenbrüche in gewöhnliche Brüche verwandelt, so nehmen die 
Näherungswerthe die Form an: 
. mi m 
‘Pi = — — — und Xi = — — 
pi pi 
Wo m, n, p ganze Zahlen bedeuten, die relativ prim sind. Vom rein 
analytischen Standpunkt aus ist die Theorie derartiger mehrfacher 
