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Ernst Sommerfeldt. 
Es ist sofort klar, dass unsere geometrische Deutung der zwei- 
fachen Kettenbrüche höchstens auf Beziehungen zu der letzteren Art 
von Transformationen der Axenelemente führen kann, in der That findet 
aber anderseits die letzte Gleichung ihr vollkommenes Analogon in 
dem Determinanten satz der Kettenbrüche. Für gewöhn- 
liche Kettenbrüche besagt derselbe bekanntlich, dass die aus zwei 
aufeinander folgenden Näherungszählern und Näherungsnennern ge- 
bildete Determinante der positiven oder negativen Einheit gleich ist; 
auf das ternäre Gebiet übertragen lautet derselbe 
mi + 1 mi mi — i 
ini + i m m — ii = -(-l 
|p i + 1 pi pi — 1 1 
wo die Grössen p die gemeinsamen Näherungsnenner m und n die 
Näherungszähler der beiden zusammengehörigen Brüche bedeuten 
und der Index i auf den i-ten Näherungswerth hinweist. 
Wird — wie wir stets voraussetzen werden — das von den 
Vektoren a, b, c gebildete Parallelepiped der Raumeinheit gleich- 
gesetzt, so besagt die Gleichung ** dass auch das durch beliebige 
drei aufeinder folgende Näherungsvektoren bestimmte Parallel- 
epiped = 1 ist, folglich können wir insbesondere jeden zweifachen 
Kettenbruch als eine Operation auffassen, welche das ur- 
sprüngliche Elementarstreckentripel a, b, c des ge- 
gebenen Punktgitters überführt in das durch den End- 
vektor, den letzten und vorletzten Näherungsvektor 
bestimmte Elementarstreckentripel des nämlichen 
Punktgitters. Hierbei setzt diese Operation aus sovielen einzelnen 
Schritten sich zusammen, als Tripel consekutiver Näherungsvektoren 
sich angeben lassen. Die zweifachen Kettenbrüche gestatten also, 
kurz gesagt, die angeführten Transformationen der Axenelemente 
durch eine Zahl von besonders einfachen Schritten auszuführen. 
Es handelt sich jetzt nur noch um die geometrische und kry- 
stallographische Bedeutung jedes einzelnen dieser Schritte. 
III. Beziehungen zum Zonengesetz. 
Es verweisen uns die soeben angeführten Theiloperationen 
auf das Zonengesetz; welches ja ebenfalls eine schrittweise Be- 
stimmung der Gesammtheit der Elemente eines krystallographischen 
Gomplexes aus den Grundelementen ermöglicht. Ein beliebiges 
Element — Zone oder Ebene — P, welches zu vier anderen Zonen 
resp. Ebenen in der Beziehung steht, dass P entweder die Indices 
110 oder 101 oder 011 erhält, falls jene vier anderen als Grund- 
elemente (100, 010, 001, 111) gewählt werden 1 , kann durch eine 
1 Wenn es überhaupt möglich ist die Fläche P durch eines 
der Indicestriepel 110, 101, 011 aus den vier anderen Flächen abzu- 
leiten, so kann diese Ableitung auch durch jedes dieser drei 
Indicestripel erfolgen, indem man nur die Fundamentalflächen unter 
sich zu vertauschen braucht; dasselbe gilt natürlich auch für Kanten. 
