Kettenbruchähnliche Entwickelungen. 
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einmalige Anwendung der Regel des doppelten Zonenverbandes 
aus jenen vier erzeugt gedacht werden; umgekehrt können wir die 
einmalige Anwendung dieser Regel als erzeugende Operation 
auffassen und das Problem stellen den Uebergang zu einem beliebig 
komplicirten Element h kl derart zu vollziehen, dass diese Operation 
eine möglichst kleine Anzahl von Malen wiederholt wird. 
Auf das Raumgitter übertragen bedeutet unsere Operation, 
die wir zunächst nur für die Zonen, nicht für die Flächen weiter 
verfolgen, den Uebergang von den Kanten des ursprünglichen 
Elementarparallelepipeds zu den Diagonalen der Flächen oder 
»Querlinien« derselben (vgl. Fig. 2). 
Diese drei Querlinien lassen sich dadurch erzeugen, dass wir 
zu je zweien der ursprünglichen Axenvektoren die Resultirende 
(gemäss der Parallelogrammconstruktion für Kräfte) construiren; 
unsere, die Anwendung des Zonengesetzes ver- 
mittelnden Operationen bedeuten also nichts 
anderes als geometrische Summirungen je zweier 
der drei Axenvektoren. Diese Operationen bilden das 
dualistische Gegenstück zu den von Viola als erste geometrische 
Ableitungen bezeichneten 1 . Es wird nun auf den folgenden Seiten 
bewiesen werden, dass die Uebergänge von einem beliebigen 
Näherungswerth der zweifachen Kettenbrüche zu dem nächstfolgenden 
sich durch die gleichen Operationen veranschaulichen lassen. 
Diesem Beweise schicken wir einige allgemeinere Sätze voraus : 
Zu der bekannten Recursionsformel, welche bei gewöhnlichen 
Kettenbrüchen das ite Näherungspaar im, m aus dem i— iten 
(nii— 1 , ni-i und (i— 2 )ten (rm— 2 , m— 2 ) zu berechnen gestattet, existiren 
vollkommen analoge bei den Kettenbrüchen höherer Ordnung. 
Diese Recursionsformel, welche für einen gewöhnlichen Kettenbruch, 
dessen iter Theilnenner ai sein möge, die Form annimmt: 
j mi = ai mi — 1 + mi — 2 
• m = ai m — 1 + m — 2 
verallgemeinert sich auf Tripel von Näherungswerthen (mi, m, pi) 
folgendermassen : 
mi = ai mi — 1 -p bi im — 2 -p mi — 3 
ni = ai m — 1 -p bi m — 2 -j- m — 3 
pi = ai pi— 1 + bi pi — 2 -p pi — 3 
Hier bedeuten ai, bi die analog bezeichneten Grössen der 
Gleichungspaare auf pag. 541, welche in die dort angeschriebenen 
kettenbruchähnlichen Ausdrücke als Theilnenner eingehen. 
Unsere Formel besagt nun, dass der ite Näherungsvektor aus 
dem i — 3 ten dadurch entsteht, dass wir zu letzterem geeignete Viel- 
fache des i — 2 ten und i — 1 ten Näherungsvektors geometrisch addiren, 
und zwar sind diese Vervielfachungszahlen gleich den iten 
1 C. Viola: Ueber geometrische Ableitung in der Krystallo- 
graphie. Zeitschr. f. Kryst. 26, 113—129. 1896. 
Centralblatt f. Mineralogie etc. 1903. 
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