546 
Ernst Sommerfeldt. 
Theitnennern. Jede einmalige dieser Additionen entspricht nun 
einer einm aligen Anwendung der Zonenregel; unser Satz gewährt 
also die Möglichkeit, durch mehrmalige Anwendung dieser Regel 
den iten Näherungsvektor aus den drei vorhergehenden zu erzeugen. 
Um diese Recursionsformel anwenden zu können, brauchen nur 
die drei ersten Näherungsvektoren des ursprünglichen Ebenengitters 
sowie die Theilnenner als gegeben betrachtet zu werden. 
Zur Erläuterung dieser Ueberlegung kehren wir zu dem früher 
behandelten Beispiel 121:72:61 zurück. Die Theilnenner, welche 
wir als 'Vervielfachungszahlen zu benutzen haben, lassen sich in 
dem kettenbruchähnlichen Schema am einfachsten erkennen, wenn 
wir dasselbe in der Form schreiben: 
121 = l_.61 + 60, 61 = 5.11 + 6, 11 = 2.5 + 1, 5 = 5.1 + 0* 
72 = 1.61 + 11, 60 = 5.11 + 5, 6 =7.5 + 1, 1 = 7.1 + 0 
Die Theilnenner sind die unterstrichenen Zahlen dieses Gleichungs- 
systems, dieselben geben dem Vorigen zufolge an, wie man durch 
zonale Ableitung von den ursprünglichen Fundamentalelementen zu 
denjenigen übergehen kann, bei welchen 
[121 . 72 . 61] der Endpunkt des ersten Axenvektors 
[ 22.13. 11] der Endpunkt des zweiten Axenvektors 
[10. 6. 5] der Endpunkt des dritten Axenvektors 
bezogen auf das ursprüngliche Coordinatensystem ist. 
Und zwar entsprechen die verschiedenen Aenderungen der 
Fundamentalemente dem folgenden Schema: 
Erstes Fundamentalsystem : 
[100] Endpunkt des ersten Axenvektors 
[010] „ „ zweiten „ 
[001] „ dritten „ 
Zweites Fundamentalsystem: 
[111] Endpunkt des ersten Axenvektors 
[100] „ „ zweiten „ 
[010] „ „ dritten „ 
[001] ist ersetzt durch 1 . [100] + 1 . [001] + [001] (vgl. das Schema *) 
Drittes Fundamentalsystem : 
[10.6.5] Endpunkt des ersten Axenvektors 
[1.1.1] „ „ zweiten „ 
[1.0.0] „ „ dritten „ 
[010] ist ersetzt durch 5 . [111] + 5 . [100] + [010]. 
Viertes Fundamentalsystem: 
[22 . 13 . 11] Endpunkt des ersten Axenvektors 
[10. 6. 5] „ „ zweiten „ 
[1.1.1] „ „ dritten 
[100] ist ersetzt durch 2 . [10 . 6 . 5] + 1 . [111] + [100], 
