Keltenbruchähnliche Entwickelungen. 
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Fünftes Fundamentalsystem: 
[121 . 72 . 61] Endpunkt des ersten Axenvektors 
[22.13.11] „ „ zweiten „ 
[ 10 . 6 . 5] „ „ dritten „ 
[111] ist ersetzt durch 5 . [22 . 13 . 11] -j- 1 . [10 . 6 . 5] + [ 111 ]. 
Man kann sagen, es sei das zweite Fundamentalsystem aus 
dem ersten durch zweimalige Anwendung der Zonenregel, das dritte 
aus dem zweiten durch 10 malige, das vierte aus dem dritten durch 
3 malige und das fünfte aus dem vierten durch 6 malige Anwendung 
derselben Regel entstanden; insgesammt ist also eine 21malige 
Anwendung der Regel des doppelten Zonenver- 
bandes erforderlich, um von dem ursprünglichen zu dem gesuchten 
System auf dem kürzesten Wege zu gelangen. 
An diesem Beispiel kann man natürlich noch den Determinan- 
tensatz für Kettenbrüche höherer Ordnung verificiren, in der That 
ist z. B. 
I 121 72 61 I 
22 13 11 = i 
I 10 6 5 | 
Es wurde hier ein Beispiel mit relativ recht hohen Zahlen 
gewählt, um zu zeigen, dass auch bei den höchsten Indiceswerthen, 
die für die Krystallographie in Betracht kommen , unsere Methode 
eine sehr einfache ist, bei kleineren Zahlen gestaltet sich dieselbe 
natürlich noch wesentlich übersichtlicher. 
III. Dualistisches. 
Die auf den vorigen Seiten angestellten Ueberlegungen lassen 
sich von dem Kantencomplex eines Krystalles auf den Flächencom- 
plex desselben übertragen, sobald zu den Grössen a, b, c die dua- 
listischen Gegenstücke eingeführt werden. Statt mit den Längen - 
maassen a:b:c operiren wir jetzt mit Flächenmassen 21 : 23 : 6, 
die wir dadurch gewinnen, dass wir eine beliebige parallel der Ein- 
heitsfläche gelegene ebene Figur auf die Ebene bc durch Parallelen 
zu a, analog auf die Ebenen ca und ab durch Parallelen zu b resp. 
c projiciren. 
Da durch diese Bestimmung nur über die relativen Inhalte, 
nicht über die Gestalt der äusseren Gontour der »Flächencom- 
ponentenft 21, 23, (5 verfügt ist, können wir dieselben als Parallelo- 
gram me annehmen, welche von 0 ausgehen und die Winkel b A c 
resp. c A a resp. a A b besitzen. Nun können wir aber als die zu 
projicirende Figur der Einheitsebene das Dreieck ABC (vgl. Fig. 3) 
wählen, das die Endpunkte der drei Axeneinheiten zu Ecken besitzt. 
Da die in den Axenebenen gelegenen Componenten dieser 
Figur nichts anderes als die Dreiecke 0 B C, 0 G A, 0 A B, d. h. die 
halben Flächen des Elementarparallelepipeds sind , so liefert das 
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