Kettenbruchähnliche Entwickelungen. 
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ecke 0 M N, 0 N L, OL M sind und messen dieselben in den ihnen 
gleichgerichteten Flächenmaassen 2t resp. 23 resp. © aus. So ge- 
winnen wir die Flächenindices als ganze Zahlen, die relatv prim 
sind und eine den Kantenindices vollkommen dualistisch entsprechende 
Bedeutung besitzen. Sobald wir eine vom Nullpunkt weiter entfernt 
liegende Parallelebene des Gitters wählen, besitzen die auch alsdann 
ganzzahligen Indices einen gemeinschaftlichen Theiler, auch dieses 
entspricht dualistisch dem Umstande, dass die Indices einer Kante 
einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, wenn die Gomponenten 
einer in ihr gelegenen Strecke, welche ausser dem Anfangs- und 
Endpunkt noch weitere Gitterpunkte in sich enthält, durch die 
parallelen Längenmaasse dividirt und diese Quotienten als Indices 
aufgefasst werden. 
Die sechs Grössen a, b, c, 21, 23, © stellen die fünf Gon- 
stanten eines krystallographischen Complexes gewissermassen in 
homogener Form dar, da dieselben einen willkürlichen Proportiona- 
litätsfaktor enthalten und in leicht ersichtlicher Weise die Axen- 
elemente eindeutig bestimmen. Ueber jenen Proportionalitätsfaktor 
verfügt man am zweckmässigsten in der Weise, dass man den 
Inhalt des Elementarparallelepipedes einer absoluten Zahl z. B. der 
Einheit gleichsetzt und dadurch die sechs Grössen a, b, c, 21, 23, © 
als die Kanten resp. Flächen den Elementarparallelepipeds ihrem 
Absolutwerth nach festlegt. 
IV. Specialisirungen für den Fall des binären Gebietes. 
Die Betrachtungen vereinfachen sich ausserordentlich, wenn 
nicht wie bisher drei sondern nur zwei Vektorcomponenten nebst 
deren Näherungszahlen in Betracht kommen, wenn also statt des 
räumlichen Problemes ein ebenes vorliegt. Alsdann verwandeln 
sich die oben benutzten kettenbruchähnlichen Ausdrücke in ge- 
wöhnliche Kettenbrüche und als die erzeugenden Operationen, 
auf welche das Grundgesetz der geometrischen Krystallographie 
hinweist (welches wir am einfachsten in der Form des Gesetzes 
der rationalen Doppelverhältnisse voraussetzen) treten jetzt nur 
zwei auf, nämlich Schiebungen längs des jeweiligen ersten und 
zweiten Axenvektors. Vom rein mathematischen Standpunkt aus 
ist die Anwendbarkeit der Kettenbruchmethode auf die Transfor- 
mationen eines ebenen Gitters bereits ausführlich von F. Klein 
dargelegt worden ^jedoch werden die für den Fall eines räumlichen 
Gitters nothwendig werdenden Verallgemeinerungen sowie die Be- 
ziehungen zur geometrischen Krystallographie dort nicht behandelt. 
Offenbar genügt die Beschränkung auf eine Ebene in denjenigen 
Fällen, in denen es sich darum handelt nicht die sämmtlichen 
Elemente eines krystallographischen Complexes in Beziehung zu 
einander zu setzen, sondern nur die Flächen einer Zone oder die 
1 F. Klein: Vorlesungen über Zahlentheorie. Göttingen 1896.97. 
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