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Ernst Sommerfeldt. 
Kanten einer Fläche des Complexes. Indessen ist bisweilen auch 
in weniger speciellen Fällen diese Vereinfachung möglich, denn man 
kann unter Anknüpfung an die QuENSTEDTSche Linea rprojection 
die Punkte resp. Geraden eines ebenen Gitters den Kanten resp. 
Flächen eines krystallographischen Complexes entsprechen lassen. 
Zu diesem Zweck braucht man nur eine derjenigen Flächen, 
welche parallel zu zwei sich kreuzenden Kanten des Fundamental- 
tetraeders läuft, als Projektionsebene zu wählen und alle übrigen 
Flächen des Complexes in das Projektionscentrum zu verschieben. 
Alsdann entspricht den vier Fundamentalflächen ein Parallelo- 
gramm in der Projektionsebene; wird dieses als Elementarparallelo- 
gramm eines ebenen Gitters aufgefasst, so entsprechen allen ganz- 
zahligen Punkten resp. ganzzahligen Kanten derselben Rationalkanten 
resp. -flächen des krystallograpischen Complexes. Andererseits ge- 
nügen diese ganzzahligen Punkte resp. Kanten des Gitters zwar nicht, 
um sämmtliche Kanten resp. Flächen des Complexes darzu- 
stellen, aber dadurch, dass die Projektionsebene nach einander dem 
-ersten, zweiten und dritten Paar sich kreuzender Kanten des Fun- 
damentaltetraeders parallel gelegt wird, kann die Zahl der zur Ab- 
bildung gelangenden Flächen und Zonen erhöht werden. 
Wird in einem so gewonnenen Punktgitter die eine Coordi- 
natenaxe ersetzt durch diejenige Diagonale des ursprünglichen Ele- 
mentarparallelogrammsi welche durch den Goordinatennullpunkt geht, 
während die andere Coordinatenaxe beibehalten wird, so braucht 
man, um die neuen Flächen zu gewinnen , für jede derselben die 
Regel des doppelten Zonenverbandes nicht öfter als einmal auch die 
vorangehenden Elemente anzuwenden._ Zum Beweise construiren 
wir (vgl. Fig. 4) die durch den Punkt 0 gehenden Flächen des ur- 
sprünglichen Fundamentaltetraeders , legen die Projektionsebene 
0 A B C parallel den Schnittkanten I und II je zweier dieser Flächen, 
verbinden 0 mit C und ziehen durch A eine Parallele zu OC, welche 
die Verlängerung yon B C in D treffen möge ; 0 A C D fassen wir als 
das neue Elementarparallelogramm auf. Der neuen Coordinatenaxe 
