Kettenbruchähnliche Entwickelungen. 
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OG entspricht eine Ebene, die durch Anwendung der Regel des 
doppelten Zonenverbandes auf die Kanten 0 0 und 0 G sich un- 
mittelbar ergiebt; der Seite AD entspricht eine Fläche, die mittels 
derselben Regel aus der Kante 0 A und der (in der Fig. nicht ge- 
zeichneten) Schnittkante der Ebene I II mit der soeben gewonnenen 
Fläche OOG erhalten wird; die beiden anderen Seiten des neuen 
Elementarparallelogramms entsprechen direkt Flächen des ursprüng- 
lichen Tetraeders. 
Damit ist bewiesen , dass statt der früheren drei Operationen 
jetzt deren zwei genügen , um die mit höheren lndices behafteten 
Flächen des Complexes, welche den Geraden des Gitters 0 A B G 
entsprechen, aus den Fundamentalelementen schrittweise abzuleiten. 
Indessen liefert diese Methode keineswegs nothwendigerweise 
stets den kürzesten Weg, auf dem diese Ableitung sich voll- 
ziehen lässt; um das einzusehen, genügt die Bemerkung, dass auf 
der unendlich fernen Geraden der Projektionsebene 0 A B C solche 
Punkte — und zwar in unbegrenzter Menge — sich befinden, welche 
rationalen Zonen des Complexes entsprechen, und dass daher diese 
Flächen sich mittels der letztgenannnten Methode nur durch einen 
sich unbegrenzt fortsetzenden Kettenbruch ableiten lassen. 
Für die Behandlung der allgemeinsten Fälle ist daher die zu- 
erst beschriebene Anwendung der Kettenbruchmethode auf das Raum- 
gitter bei weitem vorzuziehen der Einführung einer Linearprojektion ; 
da es indessen anschaulicher ist, die successiven Uebergänge in 
einer Ebene als im Raume sich vollziehen zu sehen, ist bisweilen 
die Uebertragung der zugehörigen Operationen auf eine solche Pro- 
jektion für unsere Zwecke nicht überflüssig. 
Die früheren Ausführungen (vergl. pag. 543) über die Trans- 
formation der lndices specialisiren sich jetzt auf das Problem ein 
ebenes Punktgitter auf mehrfache Weise als Parallelengitter aufzu- 
fassen und die Uebergänge durch die angegebenen Operationen zu 
vermitteln. Bezeichnet man mit ej, e 2 ; c x ', c 2 ' die vom Goordinaten- 
nullpunkt bis zu den Punkten -J- 1 auf den Goordinatenaxen sich er- 
streckenden Vektoren und beziehen sich f x , e 2 auf das alte, c x ', e 2 ' 
auf das neue Coordinatensystem, fallen ferner die Vektoren 
a e i + Y e 2 
ß f x — |“ ö c 2 
des alten Systems (wo die Summen vektoriell zu nehmen sind und 
sein muss), bezüglich zusammen mit den Vektoren 
1 ff + 0 e 2 ' 
0 f x ' + 1 f 2 ' 
so sind zwei Fälle zu unterscheiden (vergl. Klein, 1. c. pag. 31): 
Wenn a<^ß entwickele man 
a 
T 
in einen Kettenbruch 
