Kettenbruchähnliche Entwickelungen. 
553 
V. Anhang mathematischen Inhaltes. 
Obgleich in den citirten Arbeiten Jacobi’s und Fürstenau’s 
die Beweise der im Vorhergehenden benutzten rein analytischen 
Sätze über Kettenbrüche höherer Ordnung sich vorfinden, möge 
zur Erhöhung der Uebersichtlichkeit auf dieselben hier kurz ein- 
gegangen werden. Für diese Ausdrücke hatte sich die Form er- 
geben (vergl. pag. 541) : 
<p — a 0 
U 1 T 
Q J 
bs+ a 4 + ... 
d.2 1 
1 
-+S+::: 
1 
U 
1 
U2 ^ 
1 b 4 + . . . 
a 4 + • ■ • 
a l T" 
b *+a,+..: 
a 2 -] 
a „ 1 b4_+j_-j_ 
a3+ a 4 + ... 
-,X=bo 
a i + 
b 2 
1 b 4 + ... 
as + a, + ... 
b ‘+h+- 
a 2 ‘ 1 
a, + b< ±-' 
Die Näherungswerthe lauten : 
für cp: 
bi 
a o< a o + — i ao + bi + — 
a l <t l 2 
a i+ 
a 2 
für x : 
bo, bo + — , bo ■ 1 
a i 
a i + 
a* 
Verwandelt man diese Ausdrücke in gewöhnliche Brüche und 
zerlegt die iten Näherungswerthe in die (einander gleichen) Nenner 
pi und die (von einander verschiedenen) Zähler nu resp. m, so 
ergiebt sich : 
m 0 = ao, n 0 = b 0 Po = l 
m t - a 0 a x + bi, n^boaj+1 Pi aj 
m 2 = (ao ai -(- bi) a 2 + a 0 b 2 , n 2 = (bo aj + 1) a 2 -f- bo b 2 p 2 = £U a 2 -(- b 2 
Durch das Verfahren der reinen Induktion beweist man leicht 
die Recursionsformeln: 
rm + i — ai + i mi + bi + i mi-i mi -2 
m + i = ai + t m -j- bi + i m — i '+ m — 2 
pi + i == ai + i pi +bi + ipi-i + pi -2 
Mittelst dieser Gleichungen lässt sich die Determinanten- 
beziehung 
