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Si, en prenant tous ces coefficients egaux ä zero, l’equa- 
tion (2) prend la forme 
x~P ■=. 0 , 
c’est-a-dire, que toutes ses racines soient nulles, chacun des 
termes du premier membre de (1) devient zero, et par suite 
la constante C sera alors nulle. 
Abel a fait voir que l’on peut choisir les polynömes 
/(*) et et determiner leurs coefficients tellement, que 
/u — 1 quantites arbitraires aq, x 2 . . . aj*_i soient racines de 
l’equation (2), laquelle donnera alors la racine xy en fonction 
algebrique des ces quantites arbitraires. 
D’apres la notation de Jacobi, posant F(x) — u, on a 
x =z sinam u , la formule (1) devient 
w i + % + • • • + u p — l u p — 9 , 
et l’equation (2) donnera donc sinam u^, ou 
± sinam (u^ -f -{-... -f wu— i), en fonction algebrique de 
sinam sinam u 2 . . . etc. 
Si le nombre /u est pair, ou /U — 2 n, il faudra poser 
f(x) = a 0 -f- a x x 2 -f a 2 x* -f . . . -f- a n —\ x 2n ~ 2 -f x 2n , 
cp (a?) = x (& 0 + b x x 2 -\- b 2 X*+ b n - 2 F ln - 4 ) , 
qui contiennent 2 n — 1 coefficients indetermines, tandis que 
les quantites arbitraires aq, x. 2 . . . a^—i devront satisfaire ä 
a 0 -\-a l x 2 ‘+...+a n —ix 2n - 2 -^a 2 ''-b(b 0 x-\-b 1 x3+...+b n —ox ,n — 3 )£x=0, 
un des deux facteurs dans lesquels on peut decomposer lequa- 
tion (2). 
On aura donc, entre les inconnues a 0 , . . . a„_i , b 0 , 
bi . . . b n 2 les 2 n — 1 equations lineaires, que no.us pouvons 
indiquer par 
a Q +aiX 2 ...+a n -\x 2n - 2 +bQxLx+biX /: x...+.b„_ 2 x 2n ~ 3 /\x=-x 
x 2n - 1 
