22 
P. Kaemmerer, Versuch zu einer neuen Deutung 
und für die Oktaedrite eine Tafel aufgestellt, aus der man mit 
Hilfe der gemessenen Winkel der Lamellenspuren auf der Schnitt- 
fläche die Lage dieser Fläche gegen das Achsensystem ermitteln 
kann. Dieses Prinzip läßt sich natürlich auch auf das Dodeka- 
eder übertragen. Die analytische Geometrie bietet die Formel, 
aus der man den Winkel zweier Geraden im Raum berechnen 
kann, wenn diese Geraden selbst durch die Gleichungen der sie 
erzeugenden Ebenen gegeben sind. Ist etwa die Gerade Cj dar- 
gestellt durch die beiden Ebenengleichungen : 
y = mz + a 
x = nz + b 
eine andere Gerade G 2 durch : 
y = pz + c 
x = qz + d, 
so ergibt sich der Winkel </> zwischen G, und G 2 aus: 
1 + mp + nq 
COS (f — 
V (1 + nP + n 2 ) (1 + p* + q 2 ). 
Z. B. ist x + y + z = 0 die Gleichung für die Oktaeder- 
fläche ( 111 ). Die Dodekaederflächen ( 101 ) und ( 011 ) haben die 
Gleichungen x + z = 0 und y -f- z = 0. Die Schnittgerade von 
(111) und ( 1 0 1 ) wäre dann: 
i (y = o 
die von ( 1 1 1 ) und (011): 
II. 
y = — z > 
x = 0 
Hieraus folgt: 
COS ( f > I, II = 
V 4 
= = + l 
Daher cp 1,11=60° bezw. 120°. 
Es ist das der Winkel der Spuren a und b in Fig. 1 oder 
Fig. 5 auf der Hauptschnittfläche. 
Mit Hilfe dieser Formel könnte man also auch, wie A. Brezina 
für das Oktaeder, für das Dodekaeder eine Tafel aufstellen, die 
die Winkel der Schnittgeraden angibt, die bei wechselnder Lage 
einer Ebene auf dieser von den sie schneidenden Dodekaederflächen 
hervorgebracht werden. 
Die allgemeine Lösung der Aufgabe , aus den auf der 
Schnittfläche gemessenen Spurenwinkeln die Lage der Fläche gegen 
die Achsen zu bestimmen, bietet algebraische Schwierigkeiten. Diese 
können aber entweder auf die oben geschilderte Weise nach 
A. Brezina oder auch so umgangen werden, daß man das graphische 
Verfahren von A. Himmelbauer auf das Dodekaeder überträgt. 
