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E. Sommerfeldt, 
weder direkt oder als freier Spielraum einem und nur einem Bau- 
stein der Struktur zugehört. 
Auch hinsichtlich der Art, wie die Bausteine einer Struktur 
zusammengefaßt werden , läßt die Geometrie der Polyeder und 
Strukturen sich einheitlicher und einfacher gestalten als bisher. 
Zunächst knüpfen wir an ein Resultat Sohncke’s an, wonach drei 
Punktsysteme, welche die Symmetrie eines Oktaeders wiedergebeu, 
aus BRAVAis’schen regulären Gittern dadurch entstehen, daß jeder 
Punkt eines solchen durch einen „24-Punkter“ ersetzt wird, und 
daß ebenso drei Punktsysteme mit Tetraedersymmetrie beim Ersatz 
der gleichen BßAVAis’schen Gittei’punkte durch „ 12-Punkter“ er- 
halten werden. Diese 24-Puukter sind aber nichts anderes als 
die Polfiguren eines Pentagonikositetraeders , oder anders aus- 
gedrückt eine Gesamtheit von Flächenpolen der 24 unter sich 
kongruenten (nicht spiegelbildlichen) Flächen eines Hexakisoktaeders. 
Analog gibt der 12-Punkter Sohxcke's die Drehungssymmetrie 
und halbe Flächenzahl eines Hexakistetraeders wieder, denn er 
läßt sich als Polfigur eines tetraedrischen Pentagondodekaeders 
auffassen. Hierdurch werden zugleich die speziellen Fälle der 
zugehörigen SoHxcKE’scheu Punktsysteme sehr anschaulich, es kann 
nämlich dadurch , daß der Ausgangspunkt der Struktur (also der 
zur Erzeugung der gleichwertigen mittels Schiebungen und Dreh- 
ungen zugrunde liegende) nicht die allgemeinste Lage innerhalb des 
Fundamentalbereichs der Struktur, sondern gewisse spezielle Lagen 
besitzt, jeder 12-Puukter der letzten drei Strukturen sich so speziali- 
sieren, daß er mit der Polligur irgend einer in der regulär tetar- 
toedrischen Gruppe möglichen einfachen Kristallform identisch 
wird ; ein Gleiches gilt für die 24-Punkter bezüglich der regulär- 
plagiedrisch-hemiedrischen Gruppe. Diese Resultate lassen sich 
verallgemeinern; es liegt kein Grund vor, lediglich im regulären 
System die Zusammenfassung der Punkte eines SoHXCKE’schen 
Systems in dieser Weise vorzunehmeu , vielmehr läßt sich jedes 
SoHxcKE’sclie Punktsystem aus einem BRAVAis’schen Gitter beim 
Ersatz der Gitterpunkte durch u-Punkter ersetzen, wobei die Zahl n 
den Drelmugssymmetriegrad der durch das Punktsystem darstell- 
baren Kristallpolyeder angibt. Diese n-Punkter sind für 25 Puukt- 
sj r steme typische Polfiguren gleichsymmetrischer einfacher Formen, 
in den übrigen aber „verzerrte Polfigureu“ derselben. Und zwar 
müssen überall , wo die Zuhilfenahme von Schraubungen als er- 
zeugende Deckbewegungen nötig wird, verzerrte Polfigureu zu- 
grunde gelegt werden, dieselben können durch die in den charakte- 
ristischen Deckschraubungeu steckenden Schiebungskomponenten in 
typische Polfiguren übergeführt werden. 
Die Figuren der vorliegenden Abhandlung bringen diese Eigen- 
schaften für 25 Punktsysteme zum Ausdruck und enthalten die- 
jenigen 24 Fälle, welche der Strukturtheorie Wulff’ s (vergl. 
