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E. Sommerfeldt, 
Diagramme der regelmässigen Punktsysteme. 
Zweiter Teil; mit 23 Textfiguren : Die Schraubungssysteme Sohncke’s. 
Von Ernst Sommerfeldt. 
Die im ersten Teil behandelten Fälle der SoHNCKE’schen 
Strukturtheorie ließen sich besonders leicht aus den BRAVAis’schen 
Raumgittern ableiten; bei den jetzt im einzelnen zu besprechenden 
Fällen jedoch Avird die kompliziertere Vorstellung — welche schon 
im allgemeinen Teil der A r origen Notiz eingeführt war — un- 
A’ermeidlich, daß verzerrte Polfiguren als Ersatz der Gitterpunkte 
füngieren. Bezeichnen wir die Polfiguren nach ihrer Punktzahl 
als n-Punkter, so ist n für alle diejenigen Punktsysteme gleich 
groß, durch Avelche gleichsymmetrische Polyeder erzeugt werden. 
Da in denjenigen Punktsystemen, in welchen die erzeugenden 
n-Punkter Umklappungsachsen besitzen, die Zahl n gerade — etwa 
gleich 2 m — sein muß , so wollen wir dieselben alsdann als 
„Doppel-m-Punkter“ bezeichnen (in Anlehnung an die Bezeichnung 
„Doppelpyramiden“ für Pyramiden , welche Umklappungsachsen 
besitzen). 
Wenn nun z. B. ein Sechspunkter so verzerrt wird, daß ein 
Teil seiner Symmetrie erhalten bleibt, so kann er etwa noch die 
Symmetrie eines typischen Dreipunkters oder eines typischen ZAvei- 
punkters besitzen; im ersteren Fall wollen wir ihn als .2 mal 
3-Punkter (vergl. Fig. 3), im zweiten als 3mal 2-Punkter bezeichnen 
(vergl. Fig. 2); ähnlich Avird man auch mit den typischen Doppel- 
punktern verfahren können und z. B. einen typischen Doppel- 
vierpunkter in einen „verdoppelten 2 mal 2-Punkter“ durch Ver- 
zerrung uuiAvandeln können (vergl. Fig. 13). Im übrigen gilt das 
zum Verständnis der Diagramme in der vorigen Mitteilung über 
die relative Dicke der Kreise etc. Gesagte auch für die jetzt zu 
behandelnden Fälle, durch welche die SoHxcKE’sche Theorie er- 
schöpft Avird. Will man sich mit Hilfe dieser Figuren auch die 
von Fedoroav, Schönflies und Barloav aufgefundenen weiteren 
165 Strukturfälle klarmachen, so benutze man die von Barloav 
gemachten Angaben (Zeitschr. f. Krist. 23) am zweckmäßigsten. 
In vielen Fällen gehen hierbei die Polfiguren, Avelche als n-Punkter 
die SoHNCKE’schen Systeme aufbauen, in typische Polfiguren von 
derjenigen Symmetrie über, welche durch die nach Barloav zu 
vollziehende Ineinanderstellung zweier SoHxcKE’scher Systeme ent- 
steht , in den übrigen Fällen aber gehen dieselben in verzerrte 
Polfiguren dieser Symmetriegruppe über. 
Fig. 1 stellt eines der rechten und linken Sechspunkt- 
Schraubensysteme (No. 42 — 43 nach Sohncke) A r on Schönflies 
durch Cf und Cf bezeichnet, dar; dasselbe ist aus dem Hexagonal- 
