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(3) u 3 — ■ Gqu 2 -+- 4(4 pr — s)u — 8(2 p 2 — 3 q)s — 1 6 r 2 = 0 
Possono consultarsi i diversi corsi di Algebra superiore come 1’ Opera di La- 
grange Résolutions des Équations, e per altre questioni relative agli Invarianti, 
e discriminanti due mie Memorie, una inserita nel tom. 6. degli Annali di 
Scienze Matematiche e Fisiche pel 1855, e l’altra nel tom. i.° degli Annali 
di Matematica pura , ed applicata pel 1858. Sostituiamo nella (3) i valori di 
p, q, r, s si avrà 
(4) a 3 u 3 — 6 a 2 cu 2 -4- 4(4 bd — • ae)au — 8(2 h 2 — 3 ac)e — - 1 6 ad 2 — 0. 
Si formi ora per l’equazione (3) o (4), l’equazione ai quadrati delle diffe- 
renze delle sue radici; di questa nuova equazione di terzo grado le tre radici 
saranno 
%' = (u' — u")\ z" = (u r — u'") 2 , z"' = (u" - u'") 2 
ed il loro prodotto per la sostituzione dei valori di u', u" u'", diverrà 
z'z"z"' = [ (x'— x") [x'-~ x"') {x"-~ x"') {x' — x iv ) {x" — x' y ) (x"' — x IV ) ] 2 
e come ognun vede rappresenterà il discriminante dell’ Equazione generale di 
quarto grado : Ecco adunque rinvenuta l’equazione del terzo grado, che risolve 
la questione propostaci. Aggiungiamo ora gli sviluppi algebrici relativi. 
3.° Un’ equazione generale di terzo grado e completa sarà 
(5) A u° -4- 3 Bit’ 2 - 4 - 3Cw -4- D = 0. 
Volendone formare la equazione ai quadrati delle differenze, è noto essere una 
nuova equazione di terzo grado della forma 
(6) A 4 z 3 —t- 1 8 A’ 2 (AG - B 2 )z 2 -4- 8 1 (AC -+- B 2 ) 2 z -4- 27A = 0 
ove A ne rappresenta il discriminante della (5), e per il quale si ha 
A 2 A = (A 2 D -4- 2B 3 — 3 ABC) 2 — 4(B 2 — AC) 3 
è sviluppando queste potenze, si ottiene 
A = A 2 D 2 — 3B 2 C 2 - 4 - 4 DB 3 4AC 3 — 6 ABCD. 
