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resta per lo più difficile di eseguire anche nelle diverse applicazioni : di più 
trasformando le coordinate ortogonali x , y , z in coordinate polari 
x — r cos 9, y = r seri 9 cos 9, z = r sen 9 sen 9 
si avranno col porre per la derivazione dell’ equazione 
r = f(9, 9) 
~ =r' , ~ = r. , i valori delle X, Y, Z , 
d 9 djj 1 
cioè 
X = 
r 2 (r cos S + r' sen 0) 
r 2 —t— r' 2 -4- r 2 , 
r 2 (r sen 2 0 cos 9 — r'sen 5 cos 0 cos p+r, sen 9) 
r 2 r' 2 -4- r 2 . 
r 2 (r sen 2 0 sen 9 — r'sen 9 cos 9 sen 9 — r i cos 9) 
r 2 -4- r' 2 -4- r 2 t 
J/"(r 2 -4- r' 2 -4- r 2 j) 
In molti casi le applicazioni si rendono più facili con questa trasformazione 
polare. 
5.° Consideriamo ora le superficie derivate nel sistema negativo, le quali 
ci porteranno a stabilire alcune forinole , ed equazioni del tutto identiche a 
a quelle riportate dal Sig. Bonnet. Sia sempre u — 0 1’ equazione della su- 
perfìcie primitiva fra le coordinate %, y , 2, e riteniamo che il punto fisso dal 
quale partano i raggi vettori sia 1’ origine. Se dunque all’estremità del rag- 
gio vettore condotto dall’ origine al punto (x, y, 2), e per lo stesso punto si 
conduca un piano perpendicolare avremo per la sua equazione 
Xx -t- Yt/ -4- Zz == x 2 -4- y 2 -f- z 2 . 
E facile il riconoscere come questa coincida con quella adoprata dal Sig. Bon- 
net ; in fatti posto 
J/*(x 2 -4- t/ 2 -4- z 2 ) — d , x — à cos <x , y — d cos /3 , z = ò cos 7 
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Z = 
R = 
