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si avrà 
X cos a -+- Y cos fi -4- Z cos y = §. 
Ma proseguiamo a ritenere le sole x, y , 2 : ed ove X, Y, Z sono le cordi- 
nate di un punto qualunque del piano. Onde la precedente equazione possa 
servire a determinare la superficie derivata nel sistema negativo converrà dif- 
ferenziarla parzialmente rapporto ad x ed y , e dedurne quindi due nuove 
equazioni differenziali provenienti dall’eliminazione dei coefficienti differenziali : 
ponendo per le derivate parziali 
d2 d2 
avremo primieramente dall’ equazione u = 0 
D x u -t- p D z u = 0 , D r u -+- q D z u — 0 . 
come dall’ equazione del piano si trae 
X — ’ìx -t- (Z — 2z) p = 0 , Y — 2y -+- (Z — 2 z) q — 0, 
od anche eliminando le p, q verrà 
(X — 2a;)D 3 M -t- (Z — 2z)D x u = 0 , (Y — 2y)D 5 u -+• (Z — 2z)D y u = 0. 
L’equazione della nuova superficie sarà la risultante dall’ eliminazione delle 
x , y , 2 fra le precedenti stabilite equazioni. Cerchiamo i valori di X, Y, Z. 
Dalle due ultime abbiamo 
X — 2a? Y — 2 y Z — 2z Xx -+- Yy -+- Z 2 — 2 (x 2 - 4 - y 2 -+- z 2 ) 
D x u D y w D z m 
ed anche 
X — 2# Y — 2 y __ Z — 2z 
D*w [) x u D a ti £cD x u -t- i/D y u h- zD*u 
xl) x u yD y ii 2 D^w 
(x 2 -+- y 2 -t- Z 2 ) 
Dalle quali otteniamo 
