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desime rappresentano un’applicazione alla ricerca della superfìcie negativa dal- 
l’ellissoide : applicazione che si poteva eseguire direttamante con le formole 
generali da me riportate verso la fine del parag. 6° di questo articolo. 
9.° Indicate le sopra esposte applicazioni veniamo a far menzione di al- 
tre quantità introdotte dal Sig. Bonnet, e da esso notate con le lettere u, v , iv f 
qnali hanno una grande influenza per lo studio delle superfìcie curve. Rite- 
nute sempre le formole, e le notazioni adottate alla fine del parag. 2.° il Sig. 
Bonnet cerca l’elemento ds lineare fra due punti infinitamente vicini a questo 
oggetto ponando primitivamente per le derivale parziali 
d 2 z d 2 z d 2 z 
dx z ’ S dxdy ’ * dy 2 
avremo dalla differenziazione delle tre penultime equazioni del parag. 2.° 
d| cos x -+- d'4 sen x = i tang iy [sda; -+- (t -+- i tang iy.q)dy] 
d£ sen x — d»? cos x= (r -+- i tang iy.q z)dx -4- sdy 
1 
= — — [sdx tang iy.q)dy] . 
CUb 0 */ 
Facendo la somma dei quadrati si avrà 
ds 2 = [(r + i tang iy.q -4- z) dx -+- sdy] 2 -4» [sdx ( t -+- i tang i.q)dy] 2 
quindi ponendo 
r + i tang iy.q -t- z = u , s = v , t -\~i tang iy.q = w 
si avrà 
ds 2 = (udx vdy) 2 -+■ (vdx -4- ivd y) 2 
od anche 
ds 2 — (u 2 -+- v 2 )dx 2 -4- 2 v{u *4™ iv)dai dy -4- ( v 2 -h ia 2 )dy 2 . 
Calcolando 1’ elemento lineare è assai facile per una formola data da Gauss 
ritrovare 1’ elemento superficiale, e si ha per la detta formola 
dA = [ (u 2 -4- v 2 )(v 2 -4- w 2 ) — v 2 (u -4- w) 2 ] 1 dxdy 
e che si ridurrà a 
dA = (uw — v 2 )dx dy. 
Espressione priva di irrazionalità , come fa rimarcare il Sig. Bonnet , e che 
può giovare il problema della quadratura delle superficie. 
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