— 2 — 
D’ après l’égalite (1) , y et z sont de parités différentes . Par suite , 2 yz et 
y 2 + z — 1 sont divisibles par 4 . Donc s sera un carré' si le second membre de 
i’e'quatipn (2) est un carré. 
Soient 
2J2 = 
a. , y 2 + z 2 + 1 — fi , y + z — 1 , z - y = y , 
s =t 2 - 
( 3 ); 
nous aurons 
ocfi 4 16 1 2 , oc + fi + l = I 2 , fi — a + 1 — y 2 
Ainsi, la question se réduit a trouver deux multiples de 4, oc, fi, tels qae a. fi, 
oc + fi + 1 , fi — oc -r i soient des carrés. 
II. 
L’élimination de fi, entre la première et la troisième des équations (4), conduit a 
6 4t 2 + (y 2 - l) 2 = ( 2 « 4 - y 2 - l ) 2 ( 5 ). 
Les Solutions entières de cette équation sont données par les deux systèmes de 
formules : 
2 22 2 22 
2oc + y — l = n Ar v , y — 1 = U —V , 
4 1 = UV 
(6), 
2 oc + y 2 — i = u 2 + V 2 , y 2 — 1 = 2 UV , 
d’où l’on tire, soit 
8 1 = u- 1 
^ (6') ; 
2 rj 2 2 
oc-v , fi = U 
soit 
( 7 ), 
2 oc — (il — v ) 2 , 2(3 = (u + v ) 2 
Ainsi oc, fi , ou leurs doubles, sont des carrés. 
III. 
Les équations (7) e'quivalent a 
(A 
2yz = v 2 , y 2 + z - 1 = u 
Soit y = ~ z , j étant irréductible. O11 déduit de la 
( 8 ). 
r=py, * = qy 
( 9 ), 
y étant un nombre entier. De plus, y et z étant de parités différentes , il eu 
est de mème pour p et q -, en outre, y est impair. Enfìn, a cause de 2 yz = v 2 , 
zpq est un carré ; ce pui prouve que, des deux nombre p , q , l'un est un 
carré, et l'autre, le doublé d'un carré. 
Au moyen des valeurs (9), la seconde équation (s) devient 
{p 2 + q 2 )y 2 -u = i (io). 
Dans cbaque cas particulier, l’équation (10) fera connaìtre les valeurs de y et 
