— 85 — 
Nel preambolo Fautore dichiara che : « Quantunque in questo scritto non 
si raggiunga la meta prefissa dall’accademia pontificia de’ Nuovi Lincei .... 
sembra nullameno che il dare alcuni passi verso il termine, in una via così 
spinosa ed ardua , debba aversi in conto di non Spregevole avanzamento ». 
Ciò è verissimo: e la vostra commissione si è occupata di questa memoria, 
affine di rilevare quali siano i passi che l’autore ha fatto verso la soluzione 
del programma surriferito. 
Cominciamo dal considerare la prima parte della memoria , intitolata : 
« Nuovo metodo per determinare tutti i valori di v che rendono un quadrato 
il trinomio a -t- bv -+- cv 2 » . Se questo metodo offrisse realmente le formole 
definitive di tutte le soluzioni possibili, senza supporne trovata una in ante- 
cedenza, sarebbe certamente un nuovo passo nella teorica de’ numeri, e me- 
riterebbe di esser conosciuto e lodato; invece l’autore prescrive che si trovi 
dapprima una soluzione col metodo di Lagrange, e che in appresso si ricorra 
alle sue formole, le quali non mancheranno di somministrare tutte le altre so- 
luzioni. Ma a tale uopo, ove suppongasi data una soluzione, aveva già com- 
piutamente provveduto e soddisfatto il medesimo Lagrange , fino dal secolo 
scorso, con una forinola di cui non può immaginarsene altra, nè più diretta, 
nè più semplice. Per maggior chiarezza di ciò che dobbiamo esporre, giova 
richiamare il modo elementare con cui fu trovata da quel sommo geometra. 
Se per v = f, il trinomio a -+- bv -f- cv 2 diviene un quadrato perfetto, 
= g 2 , talché si abbia 
a H- bf cf 2 — g 2 , 
lo stesso trinomio, eliminando a , si può scrivere sotto la forma 
g 2 + b( v-~() + c(v 2 — f 2 ) , 
e farlo = [g -+- m[v «— f)J 2 , intendendo per m un numero razionale, affatto ar- 
bitrario. Da simile uguaglianza si trae subito 
, . fm 2 — 2</m -+- b -+- mf 
Questa è la formola di Lagrange , per la quale , data una soluzione qua- 
lunque = f, si hanno tutte le altre soluzioni possibili dando alla variabile m 
opportuni valori. Così se per v = f i , il trinomio a -+- bv -t- cv 2 diviene un 
altro quadrato perfetto .= g 2 , cioè se si ha 
