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Par l’hypothèse x = 1, cette relation reproduit l’e'galite' connue 
... +n t(^A y 
qui représente line solution de l’dquation (i); On arriverait a un résultat analogue 
en posant dans (2) x — 0. Pour trouver des Solutions autres que celles qui de- 
rivent des hypothèses «r=0 oit x=i, rappelons que I’identite' (a 2 +b 2 ) 2 =(a 2 -b 2 ) 2 +(2ab) 2 
constitue une solution de l’e'quàtion t 2 ~u?+v 2 , et remarquons par suite qu’ on 
obtiendra des valeurs de x et de y capables de verifìer P e'quation (1) , si on 
peut trouver des entiers x , y , n qui satisfassent à l’un des deux systèmes 
d’equations (a) ou ((5) 
(«: 
! ’ (x + n — i)(x + n ) — 2 (a 2 + b 2 ) 
x(x - 1) = 4 ab (|3) 
j-n 2 - b 2 , 
systèmes qui peuveut ètre remplacés par les suivants 
(a - b) 2 11- i 
2 
m 
4 (a - b) l *+ n 2 (n 2 - ì) = 4 (a + bfn 2 
(x + n- l)(x + n) <= 2 (a 2 + b 2 ) 
x(x — i),= 2 (a 2 - b 2 ) 
j = 2 ab', 
(4 
X = 
n 
y = a 2 — b 2 
2b 2 n - i 
x 
n 2 
y = 2 ab 
16 b !i + n 2 {n 2 - 1) = 3 ari 
3. La question est ainsi ramene'e a la resolution en nombres entiers de la 3. c 
e'quation des systèmes (a) ou (j3'); mais, avant d’aborder cette solution, on peut 
remarquer : 
1? que, dans le système (a), on a 
/ v v {2x +n - i)n 
s ,= x + {x + 1) + . . . + (x + n - 1) = = (a — by ; 
2? que, dans le système (|3')> on a 
(2X + n - i)n 
= 2 b 2 -, 
e'galite's qui prouvent que, pour des valeurs rationnelles de a et de b, la somme 
des n nombres naturels fournis par les systèmes (a) et (p) est respectivement 
e'gale a un carré' et au doublé d’un carré'. 
4. Cela pose', occupons nous de la solution du système (a), c’est-a-dire de 
P e'quation 
- b)^+ n(n- l) = 4 (a -t- è) 2 n 2 
b — nt 
2 (a + b) = m, 
posons 
et 
