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cette e'quation devient 
m 2 — (4i 4 + 1 )n= — i . 
Les valeurs minima de m et de n soni 
m = 2 t z , n = 1 
par suite les valeurs de m et de n seront toutes fournies par les puissances im- 
paires de l’expression 
2 1 2 + Y/4t 4 + 1 . 
Ces valeurs successives forment une serie re'currente dont l’ e'chelle de relation 
est 16£ 4 + 2 ; - i , ou, en d’autres termes chaque valeur de m oio de n s’obtient 
en multipliant la précédente par I6t 4 + 2, et en retranchant da résultat l'anté 
précédente. Les premiers termes des se'ries sont 
rn = 2 1 2 -, 32 f 6 + 6 1 2 512 t lo + 160£ 6 + 10 1* } 
n = 1 ; i6£ 4 -r 1 ; 256i 8 + 48É 4 +l ; 
Ainsi, t restant arbitrane, les e'quations [a!) seront, dans l’hypothèse a-b—nt , 
remplace'es par le système suivant : 
n( 2 t 2 — ì) + 1 
mnt 
En particulier , si on prend pour m et n les seconds termes des se'ries re'cur- 
rentes ci-dessus inscrites, on aura : 
n = 16£ 4 + 1 , x — t 2 (At 2 - i) 2 , j = £ 3 (l6£ 4 + l)(l6 t k + 3 ) 
S t = (l6i 4 + 1 )¥. 
En assignant a t des valeurs arbitraires, ces formules fourniront une serie de 
Solutions entières de l’équation (ì). Ainsi, pour t *= 1. 
il = 17 , X = 9 , / = 17.19 = 323 , = 17 2 
9 3 + 10 3 + u 3 + . . . . + 25 3 = 17 2 . 19 2 = 323 2 
9 + 10 -i- li +....+ 25 = 17 2 . 
De mème pour t = 2 , n = 257 , x= 900 , y = 8.257.259 , s l = 2 2 . 2 &f 
900 3 + 901 3 + . . . . + 1156 3 = 8 2 .257 2 .259 2 
900 + 901 + .... + 1156 = 2 2 .257 2 
et, ainsi de suite pour t = 3, 4, 5 . . . . 
Dans ces exemples numeriques, les termes extrèmes des progressions sont e'gaux 
