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a des carrés. Il doit toujours en ètre ainsi pour le premier terme d’après la va- 
leur de x inserite ci-dessus; mais ce fait est ge'ne'ral aussi pour le dernier terme; 
on a en effet 
x + n - i = t 2 ( \t 2 - i) 2 + 16£ 4 = t 2 (bt 2 + i) 2 ; 
on peut remarquer encore que la diffe'rence n — 1 des termes extrèmes est e'gale 
a un carré' 16£ 4 . 
Si, dans les se'ries recurrentes ci— dessus indique'es , on prenait les troisièmes 
yaleurs de m et n , on aurait pour t = 1 
n - 305 , 772 ~ 6S2 , X — 153 , J =* 305.341 , 4 , = 305 2 
153 3 + 154 3 + 155®+ ..... + 457 3 = 305 2 .341 2 = 104005 2 
153 + 154 + 155 + + 457 - 305 2 . 
5. En supposant n pair et e'gal a 2 n , la dernière equation du système (a) 
devient 
(a - Z/) 4 + n' 2 ( An' 2 - l) = 4 (a + b) 2 n' 2 . 
En posant 
a - b = n't ,2 (a + b) = m , on a m 2 ~ (£ 4 + \)n' 2 — - 1. 
Cette e'quation admet toujours des Solutions entières pour t impair. En posant 
t = 2 t’+ l , elle pourra se mettre sous la forme 
/ n— \ [2(2£ ,2 + 2 t') + 1 ] 2 + 4 | n' 2 = — 1. 
Par suite ([h? 4 ] d’une note insérée dans la Séance du 4 mais 1866 des Atti del- 
V Accademia Pontificia de Nuovi Lincei ), les valeurs entières minima de m et 
de n' seront 
ni = 2 ( 2 £'+ l) 2 1 (2£ + 2£') + 2£ + 2£ r + 1 ^ 
7 1'= ( 2 £ f2 + 2£ + l)%- (2£ ,2 + 2 f') 2 =- — . 
Les valeurs successives de m et de n' seraient ensuite fournies par les puissances 
impaires de l’expression 
m + n'\J{2t'+ i) 4 +4 . 
Ainsi, t ou 2 1'+ 1 restant arbitraire, le système (a) sera remplaee' par le suivant 
, , . . n'Ut' 2 + 4 1'— 1 ) + 1 mn't ,, ,, 
U\ ~ A ' j S j= n t . 
n r les valeurs minima de'ja inscrites, on 
aurait : 
En particulier, en adoptant pour m et 
