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n = ( 2 1'+ i) 4 + 1 , x = At l2 (t'+ i)*{2t'+ i) 2 
J- _ (2f'+ l) 3 . (2f + ‘ >4+l . {(2«'*+ «4*+ 2t' a - 2«'+ 1 ì 
^ x = (2f'+ l) 2 
par suite pour t'= i. 
Tl = 82 , .T = 144 , J = 3 4 .7.41 , ^ 3 2 .41 2 
144 3 + 145 3 + 146 3 + + 225 3 = 3 8 .7 2 .41 2 
144 + 145 + 146 + . . . . . + 225 = 3 2 .4i 2 = 123 2 . 
De mème pour t'= 2 
n = 626 , X = 3600 , J = 5 3 . 157. 313 , S t = 5 2 .313 2 
3600 S + 360 1 3 + . . . . + 422 5 S = 5 6 .157 2 .313 2 
3600 + 3601 + . • • • + 4225 = 5 a .313 2 
et ainsi de suite pour t’— 3 , 4, 5. . . . 
lei encore les termes extrèmes des progressions sont des carre's, ce qui est evi- 
dent pour le premier terme, d’apres la valeur de x. Il doit toujours en ètre de 
mème pour le dernier terme, puisque l’on a d’une manière gène'rale 
x + n — 1 = ( 2 1'+ 1 f\t' 2 + (t'+ i) 2 [ 2 , 
011 a aussi n - 1 = ( 2 1'-*- l) 4 . 
De mème qu’on la vu de'ja (n? 4), cette circonstance des termes extrèmes des 
progressions égaux a des carre's, ne se reproduit pas force'ment dans les Solutions 
qui de'riveraient des valeurs suivantes de m et de n' . 
6. Reprenons la dernière e'quation du système (a), et supposons que l’on ait 
n*=nji\, on pourra poser 
a - b = rc,/i 2 £ , 2 {a + b) = m 
ce qui donne 
m 2 - ( 4 £ 4 + n\)n\ = - 1 . 
Cette équation n’admettra de Solutions entières que dans le cas de n 2 impair; 
mais, dans cette hypotlièse, elle sera souvent soluble, ce qui fournira une se'rie 
de Solutions particulières de la question pose'e. 
Pour t =2 et n 2 = 3 , l’èquation in — i45w 3 = — 1 est ve'rifìe'e par m=\2 et/z^i. 
Les valeurs de m et de n t seront donc fournies par les puissances impaires de 
l’expression 
1(2 1 + 1 ) 4 + 1 
12 + y/445 . 
