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Mais comme ici x est ne'gatif, on peut faire commencev la progression des nom- 
bres naturels a + 368743865, en diminuant n de 2.368743864 + 1 = 737487729, ce qui 
re’duira le nombre de termes a 357569808 = 2^.3.7449371, on aura ainsi les egalite's 
368743865 3 + 368743866 3 + . . . . + 726313672 3 = (2 5 . 3. 7 2 .7272833. 7449371) 
368743865 + 368743866 + ....+ 726313672 = 2(2.3.7.744937l) 2 . 
Les formules d’Euler inscrites (n.° i) pennettraient ensuite de trouver uhe serie 
de valeurs de a et de w 1 . 
9 . Sans insister davantage sur les e'quations (a) et ((3’), il est facile de voir 
que, pour des valeurs rationnelles de a et de b, ces systèmes ne comprennent 
qu’un cas particulier de la question. 
En représentant par s la somme 2X + n - \ des premières puissances des ter- 
mes extrèmes, l’e'quation (ì) peut, d’après une formule de M. r Lebesgue, se mettre 
sous la forme 
ÌIS 
(3) x 3 + (x + i) 3 + . . . . + (x + n - i) 3 = — (/+ n- ì) = y. 
Or, on peut satisfaire a cette e'quation dans chacun des deux cas suivants : 
o flS 2 S + Tt 1 2 j 
1? avec — = ab , = oca , j = aab 
2 4 
o nS L 2 
2. avec — = ocb 
4 
aa , J 
aab. 
ce qui conduit a rdsoudre les e'quations 
(y) *ab li + n 2 (n 2 — ì) = 4 cuxn avec 
(S) u>ab k + n(n- ì) = 2 aan avec 
e'quations qui, par l’hypothèse a = \, reproduisent les systèmes de'ja conside're's 
ci-dessus. 
io. Examinons quelques cas particuliers de l’e'quation 
(y) kab k + n 2 (n 2 - l) = 4 aci'n . 
En posant d’abord n — an 1 , b =rìt , il vient : 
(/) 4 aa 2 - (4 f 4 + a 2 )n' 2 - ~ 1 ou (2 aaf- a(4£ 4 + a 2 )n' 2 = - a, 
e'quation qui a e'tè re'solue ci-dessus (n? 4) pour le cas de a = ì. On voit de suite 
qu’il est inutile de clierclicr a la re'soudre pour le cas de a pair. 
Pour t — i . a =s 3 cette e'quation ( y ') devient 
2 ab 2 
n 
Aab 2 
n 
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