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2® PARTIE. Cas de r entier quelconque. 
13. Les eonsidérations precedentes sont applicables au cas generai- On a en 
effet, d’après la formule de M. r Lebesgue 
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( 3 ) x 3 + (x + rf+ (pc + 2 rf+ .... +\x + (n - i)r} 3 = — {/+ ( n2 “ O^H/ 2 » 
e'quation qui peut ètre remplace'e par l’un ou l’autre des deux systèmes 
(*) 
sl.# 
2/2 v 2 
s + (n - i)r 
( 5 ) 
j 2 
= 4«o 
4 
s 2 + (« - i)r 2 
aab. 
4 
= aab 
Ces syslèmes conduisent a re'soudre en nombres entiers l’une des deux e'quations 
suivantes 
(4 t ) 4 a 2 6 4 + n(n- i)r 2 = 4 aan 
( 5 ,) ioa 2 M+ n 2 (n 2 — i)r 2 = 2 aa 2 n. 
Sans entrer dans le de'tail de la re'solution de ces e'quations, bornons nous à 
considerer dans (4i) le cas de a = 1 , ce qui donne 
Ou en posant b — ut 
(*'i) 
4 & 4 + n 2 (n 2 - i)r 2 = \a 2 n . 
(2a) 2 - (4£ 4 + r 2 )n — - r 2 
en assignant à t et a r des valeurs particulières, on pourra toujours re'soudre 
cette dernière e'quation par des valeurs de a et de w premières entr’elles, puis- 
qu’ elle est ve'rifie'e d’une manière ge'ne'rale par a = t 2 et n — 1. Ainsi pour 
t = 2 et r = 3 , l’e'quation 
( 2 a) 2 - 73 n = - 9 
est ve'rifie'e par a = 4 et n = 1 solution qui, au moyen des formules d’Euler 
(n? 7 ), donne imme'diatement 
(I = 620504 = 2®. 77563 , il = 145249 
d’où 
363124®+ 363127®+ . . . ..,*,798868®= (2 4 . 77563. 145249) 2 
363124 + 363127+ . . . . + 798868 = (2.145249) 2 . 
Mais, on peut aussi re'soudre l’e'quation (4 f ,) par des valeurs de a et de n 
qui ne seraient pas premières entr’elles. Posons a cet effet 2 a =ra', n—m' 7 il 
