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vient 
a' 2 -( 4*4+ r 2 )n 12 = — 1 . 
lei r est force'ment irapair, et dans l’hypothèse t = i , r 
a 12 - {(2r'+ i) 2 + 4 \n' 2 = - 1 
est verifie'e par 
n’= 2 r f2 -t- 2 r r + 1 , <z = 2 ( 2 r'+ i)^r' 2 +r r + 
= 2 r'+ ì l’e'quation 
avec ces valeurs on trouve pour le i er terme de la progression 
x = - \r’ 2 ( 2 r'+ if\+ 2 r+ 1. 
Mais, comme la raison r — 2 r’+ 1 , on peut, en ne'gligeant les termes qui se de- 
truisent, prendre pour premier terme l’expression x t = r f2 ( 2 r'+ i) 2 , a laquelle on 
doit joindre les valeurs suivantes 
n = 2 ^r 2 + (r'+ i) 2 [ , le dernier terme l = (2r'+ i) 2 (r'+ i) 2 
a = ( 2 r'+ \) 2 \r' 2 + r'+ i)| , b = (2r + i) | 2 r' 2 + 2 r'-t- i( 
r = 2r + i. 
Par suite pour r = i, on aura 
n = io , Xj= 9 , / = 36 , a = 3 S , è = 3.5 , r = 3 , 
9 S + 12 3 + 15 3 -+- + 36 3 = (aè) 2 = (3 4 .5) 2 
9 + 12 + 15 + + 36 = b 2 = (3.5) 2 . 
De mème pour r - 2 
100 3 + 105 3 + 110 3 + . . . . + 225 3 = (5 S .7.13) a 
100 + 105 + HO + .... + 225 = (5.13) 2 
et ainsi de suite pour r'= 3, 4 , 5 On sait d’ ailleurs que l’ensemble des 
valeurs de a' et de n' serait fourni par les puissances impaires de l’expression 
2(2r'+ i){/’ ,2 + r+ i | +(2 r' 2 + 2 r'+ i)\/{2 r + i) a + 4 
pour r'= i les 2 es valeurs donneraient 
9729 3 + 9732®+ 9735®+ . . . . + 48636®= (3 5 .5.433.1297) 2 
9729 + 9732 + 9735 + ....+ 48636 = (3.5. 129?) 2 . 
14. Dans le cas de a. = t, r = 2r , l’e'quation (4,) devient 
è 4 + n 2 (n 2 — i)r' 2 = a 2 n 
ou, en posant b =nt 
Cette e'quation 
( 4 ”) a 2 - (£ 4 + r l2 )n 2 = - r' 2 
est verifie'e par a = t 2 et n— 1 , de telle sorte que, e n exceptant 
