— 105 — 
t 
= l l 
j i s + 3 3 - 5 3 + 7 3 + 9 3 = 
: (5.7) 2 
n 
= 5 
j 1+3 + 54-7 + 9 = 
5 2 . 
t 
= 2 
( 196 3 + 198 S + .... 
+ 324 3 = (2 S .5.13.67) 2 
n 
= 65 
( 196 + 198 + ... . 
+ 324 = (2.5. 13) 2 
t 
2601 3 + 2603 3 + . . . 
n 
= 325 } 
2601 + 2603 + . . . 
. + 3249 = (3.5 2 .13) 2 
Le cas particulier de t-\, qui correspond a l’équation a 2 - 2 n 2 -~ i, mèrite 
d’ètre remarqué. D’après la valeur x = n(t 2 — ì) + 1, on voit que, dans cette hy- 
pothèse, le premier cube est toujours e'gal a l’unite. On a ainsi la proposition 
suivante : La somme de n impairs consécutifs à partir de l'unite' étant tou- 
jours égale à un carré, la somme des cubes de ces mémes impairs sera égale 
au carré de an, lorsquon prendra pour a et n les valeur s simultanées de a 
et de n dans Véquation a—2n = — i. 
D’après les se'ries re'currentes ci -dessus inscrites, les valeurs successives de a 
et de n sont 
a = 1 , 7 , 41 , 239 , 1393 
n= 1 , 5 , 29 , 169 , 985 
On a ainsi les égalite's 
1 3 + 3 S + 5 3 + 7 3 + 9 S = (5.7) 2 
l s + 3®+ 5 3 + .... 4- 57 3 — (29. 4l) 2 
i 3 + 3®+ 5 3 + . . . . + 337 3 = (l3 2 .239) 2 
15. On voit par ce qui precède que la re'solution des e'quations (4j) et (5,) est 
sensiblement analogue a celle des systèmes (a) et ((3 r ) considère's dans la i. e partie. 
Aussi, sans nous arrèter davantage a ces de'tails, nous allons examiner quelques 
cas particuliers auxquels on peut appliquer une autre me'tliode. 
L’e'quation a re'soudre ètant 
(3) y\=f 
o 
on peut, dans le cas de n = 2 n 12 , trouver, si non toutes les Solutions relatives 
a cette hypotlièse, au moins une serie illimite'e de valeurs de j, r, et s capa- 
bles de vérifier l’e'quation ( 3 ). 
Posons a cet efFet s = s 1 2 , 2 \y —n!s'j, , l’e'quation devient 
4 + ( 4 n ' 4 - i)r 2 =jl 
