— 156 — 
0 5 2.5 3.5 6.5 
1 5-4-1 2. 5-hl 3. 5-1-1 6.5-+- 1 
2 5-4-2 2.5-+- 2 3.5-f-l 6. 5-4-2 
» 
4 5-4-4 2.5— 1—4 3.5— f-4 6.S-+-4 
cosicché S 5 permuta fra loro simultaneamente e circolarmente le radici di ogni 
riga o gruppo ; mentre S cambia la prima riga nella seconda , questa nella 
terza ecc. la quinta nella prima. Rappresento le radici di un gruppo qua- 
lunque ordinatamente coi segni z x , Q z xìi z x , 2 . . . z xìy . . . z x , 6 , le sostituzioni 
con S = ) , S 5 = ) =S 4 ; ed i sistemi delle sostituzioni geometri- 
che T=( 3 *) , T^ 5 ^), da che 3 4 ==1 (mod. 5),5 6 = 1 (mod. 7), i quali sistemi 
souol -+-T-+-T 2 -+-T 3 = ( 1 -hT)( 1 -f-T 2 ), 1 -+-1\-+-. . .-+-T 1 5 =(1 -hT^I - 4 -T^-hT *). 
Scrivo in luogo di ogni radice z x , y il solo indice y che la distingue, ed ap- 
plicata la sostituzione T 4 , sostituito ad ogni piodotto 5y il corrispondente re- 
siduo rispetto al numero sette, ogni gruppo delle z x , y fornirà le permutazioni 
che seguono 
1 
5 
4 
6 
2 
3 
2 3 4 5 
3 1 6 4 
15 2 6 
5 4 3 2 
4 6 13 
6 2 5 1 
6 
2 
3 
5 
4 
d’onde si scorge che qualunque radice, per la sostituzione T t , può occupare 
qualunque posto, ma le altre tutte vengono rimosse e correlativamente dispo- 
ste con certa legge; sono pertanto tutte funzioni di una qualsivoglia tali che 
supposte 1 = <p' x , 2=<p. r 2 (p' a .), 3.=?* 3 (9'*), . . . 6 =(pj , [y x ) ì combiato 9' in ? 2 di- 
vengono 9 2 (<P 2 )=9> 4 (?')> f(f)— 96(9'), ??(^ 2 j==f 3 ( p '), <p 6 (9 2 )= 9 5 ( ?) ') e 
dalle altre trasposizioni si deduce che 9 A (9 4 )=p*(9 A )—p m (p'), se h.k=rti (mod. 7); 
?*(?*) — ? se h.k~ 1 (mod. 7). Le sostituzioni T t spartiscono le radici 9^ in 
due gruppi 9', 9*, <p 2 ; <p 3 , 9 5 , 9 6 cosicché 0 permutano simultaneamente le tre 
9 di ogni gruppo, 0 scambiano l’un gruppo nell’altro. Di qui si deduce che, 
essendo a , , 7 radici primitive delle equazioni « 7 = 1 , ^3 2 = 1 , 7 3 = 1 , 
le funzioni 
