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Avremo pertanto <p t -4- <|, 4 — * — A -+- J/"(A 2 — B) , i p ■= C -4- ^(C 2 — D) : 
mediante le i p, tp' e le equazioni (3) si determinano le <y, &>' : colle (2) 
si ottengono le funzioni 0 a .( a ) : e P er ultimo colle equazioni (1) conseguiremo 
le radici z xìy . Vuoisi però notare che una delle funzioni <p l <p i , deve 
essere funzione intera dell’altra. 
3) Seia equazione a risolvere fosse del grado 3.5.7, applicata alla funzione 
F delle sue radici 0,1, 2, 3. ..la sostituzione ciclica S dell’ordine 3.5.7 siccome 
1 -t-S-t-S 2 ...- -+-S 3,6 - 7-i =(l -+-S-+-S 2 )( 1 -4-S 3 h-S 2,3 . . .h-S 4 * 3 )(1 -4-S 3 - 5 -4-S 2 - 3ì5 . . . 
. . .-)- S 6,3-5 ) vediamo che le sostituzioni S 3 * 5 , S 3 , S congiungono le radici in 
gruppi come segue 
[(0,3.5, 2. 3. 5. ..6. 3. 5), (3, 3.5-b3, ... 6.3.5H-3) 
(2.3, 3. 5-4-2. 3, ... 6. 3. 5-4-2. 3), .... (4.3, 3.5-J-4.3, .... 6.3.5-4-4.S)] 
[(1, 3. 5-4-1, 2.3. 5-4-1, ... 6. 3. 5-4-1), (3-4-1, 3.5-+-3-M, ... 6.3.5-h3-hl) ... 
... (4. 3-4-1, 3. 5-4-4. 3-4-1, ... 6.3.5-4-4.3-4-1)] 
[(2, 3. 5-4-2... 6.3. 5-4-2), (3-4-2, ... 6.3.5-4-3-h2)... (4. 3-4-2, ... 6.3.5-+-4.3-Ì-2)]. 
Le sostituzioni S (3-5) permutano simultaneamente e circolarmente tutte le ra- 
dici congiunte in ogni gruppo di prima specie racchiuse fra le parentesi ( ): 
le sostituzioni S (3) permutano simultaneamente e circolarmente fra loro i cin- 
que gruppi di prima specie raccolti fra le parentesi [ ] , senza alterare la 
posizione relativa delle radici componenti ogni gruppo di prima specie. Le so- 
stituzioni S permutano circolarmente i gruppi di seconda specie, il primo col 
secondo, questa col terzo, il terzo col primo. Ad ognuno dei sistemi aritme- 
tici coniugati d’ordine primo derivati da S, S (3) , S (3 * 5) corrisponde un sistema 
geometrico d’ordine composto, epperò decomponibili, siccome quelli delle so- 
stituzioni T, T t dell’antecedente paragrafo. Quei sistemi tutti d’ordine primo, 
fra loro permutabili, offrono le sostituzioni che ammette la funzione F, ove 
la equazione sia risolvibile per radicali ; della quale conseguiremo le radici 
procedendo come sii è fatto di sopra. 
4) Le equazioni del quarto grado presentano eccezione. Indicate le ra- 
dici coi segni x 0 , x l , x 2 , x ì , il cielo (0123)=S produce il sistema coniugato 
1 -4— S-t-S 2 -4-S 3 =( 1 — 4-S)( l — t— S 2 ) il quale separa le radici nei gruppi x 2 : x L , x v 
La sostituzione S 2 permuta fra loro simultaneamente le radici di ciascun gruppo, 
la S scambia l’uno coll’altro gruppo, per cui la funzione [(£ 0 h-£ 2 ) — ( x i -^# 3 )] 2 — */ 
non è alterata da quel sistema. Il ciclo (012) produce tre valori di y, ed ogni 
