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= 2 r ( r ~ 1 ) • • -[r — 1 )azd t r ~‘d u s ( P'"“ Z Q*) -+- 
s = l 
s(s— l)...(8-i-Hl)« ,:, d/if/-'(P r Q'-‘) 
J=l 
-+-^ ^V(r— f )..(r — i+tjxs^- 1 )...^ v+i)aJ v) dr z du‘- v {P r - z Q s ~ v ) 
Z = i ^=1 
4-1 .l.rx 1 .2.. sa r (i) , 
da cui a^^PQ^d^H-Qd.P.^F+P.d.Q.d^AP^), 
1 
1.2..rx 1,2. .s 
dr l d-w,V) 
( 6 ) 
che sono le formole di Laplace. Sostituiti questi valori nella (5) , eguagliati 
i coeficienti di una funzione d t z d/ F, ed assegnate alle P,Q forme particolari, 
derivano molte relazioni che forse meritano attenzione. 
11 metodo esposto vale ad estendere più oltre le formule di Laplace. Es- 
sendo date x—f[t- haP), ?/=tp(tH-/3Q), z=i(iH-y R); ove P,Q,R siano funzioni 
di x ,y y z possiamo svolgere qualunque F(x,y,z) in serie ordinata per potenze 
intere positive di «,/3,y. Da che posto 
F(*,y,a)==F[^(i),$(tt),|(i;)]-4- a lUH <xp y-t- . . . 4-a„ OT , /l a'/3'”y' 1 -+-••• 
col metodo, di cui sopra, troviamo 
a lu , l =VQM4J v F+Rd v (VQ)d e d ll F+Qd u (m)d t d u F+Vd t {QR)dJJ 
4-(RQd,^PH-Rd,Q.d„P-HQd„Rd,PHF4-[PRd^Q4-Pd3.d,Q^Rd,P.d ( Q]d,F 
■[PQd u d < R-+-Qd u P.c/,R4-Pd < Q.d„B]cLF=/ , (P,R,R) 
1 
1 .2. Jx 1 .2 ..rii X 1 .2..n 
d/- 1 4 m - l d/-Y(P',Q%R' 1 ) 
Volendo estendere la ricerca ad un maggior numero di equazioni le formule 
(6), (7) porgono gli elementi della induzione che agevola il calcolo laborioso. 
